Relación entre el brazo y la mediana de un triángulo:
Las longitudes de las medianas se pueden obtener del teorema de Apolonio como:
[matemáticas] m_ {a} = \ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}} [/ matemáticas]
[matemáticas] m_ {b} = \ sqrt {\ frac {2c ^ {2} + 2a ^ {2} -b ^ {2}} {4}} [/ matemáticas]
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[matemáticas] m_ {c} = \ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}} [/ matemáticas]
donde a, byc son los lados del triángulo con las medianas respectivas [math] m_ {a} [/ math], [math] m_ {b} [/ math] y [math] m_ {c} [/ math ] desde sus puntos medios.
Así tenemos las relaciones:
[matemáticas] a = \ frac {2} {3} \ sqrt {-m_ {a} ^ {2} + 2m_ {b} ^ 2 + 2m_ {c} ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {2 \ izquierda (b ^ {2} + c ^ {2} \ derecha) -4m_ {a} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {b ^ {2}} {2} -c ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {2} -b ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = \ frac {2} {3} \ sqrt {-m_ {b} ^ {2} + 2m_ {c} ^ 2 + 2m_ {a} ^ 2} [/ matemáticas]
[math] = \ sqrt {2 \ left (c ^ {2} + a ^ {2} \ right) -4m_ {b} ^ {2}} [/ math]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {a ^ {2}} {2} -c ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {2} -a ^ {2} + 2m_ {c} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] c = \ frac {2} {3} \ sqrt {-m_ {c} ^ {2} + 2m_ {a} ^ 2 + 2m_ {b} ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {2 \ izquierda (a ^ {2} + b ^ {2} \ derecha) -4m_ {c} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {b ^ {2}} {2} -a ^ {2} + 2m_ {b} ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ frac {a ^ {2}} {2} -b ^ {2} + 2m_ {a} ^ {2}} [/ matemáticas]
El centroide divide cada mediana en partes en la proporción 2: 1, con el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto.
Para cualquier triángulo con lados a, b, c y medianas. [matemáticas] m_ {a}, m_ {b}, m_ {c} [/ matemáticas].
[matemáticas] {\ tfrac {3} {4}} (a + b + c) <m_ {a} + m_ {b} + m_ {c} <a + b + c [/ matemáticas]
y
[matemáticas] {\ tfrac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} [/ matemáticas]
Las medianas de los lados de longitudes a y b son perpendiculares si y solo si [math] a ^ {2} + b ^ {2} = 5c ^ {2} [/ math]
Las medianas de un triángulo rectángulo con hipotenusa c satisfacen [matemáticas] m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} = 5m_ {c} ^ {2} [/ matemáticas]
El área T de cualquier triángulo puede expresarse en términos de sus medianas [math] m_ {a}, m_ {b} [/ math] y [math] m_ {c} [/ math] de la siguiente manera. Denotando su semi-suma [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {(m_ {a} + m_ {b} + m_ {c})} {2} [/ matemáticas] como σ, tenemos
[matemáticas] T = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}} [/matemáticas]