Cómo encontrar cuántas esferas de radio de 1 cm pueden caber en una caja de 20 cm por 20 cm por 20 cm

Answer 1

La forma en que las esferas se asientan en un avión, para empezar, es tal que cada tres esferas conectadas o en contacto forman un triángulo equilátero en los puntos que se encuentran. 60 grados de la circunferencia del ecuador de cada esfera pasa el plano que separaría las filas en filas. Si llena una capa de un recipiente con esferas, puede ver que habrá filas y columnas naturales, y que se asentarán más cerca una de la otra que si fueran cilindros donde no hubiera una estructura de cristal para permitir este posicionamiento ajustado . La cantidad que consiguen acurrucarse más cerca de su fila vecina es (1 – 3 ^ 2/2) * r = (.125) * r donde r es el radio de la esfera. Por lo tanto, cada fila solo ocupa .875 * .5 = .4375 cm. Este beneficio solo existe en dos dimensiones. La altura y el ancho probablemente permitirán 11 filas por 11 filas, pero la longitud solo contendrá 10. 11 * 11 * 10 = 1210.

Answer 2

Teóricamente, el volumen utilizable de una caja cúbica puede ser como máximo del 74% para el embalaje de objetos esféricos; este es un hecho bien conocido en la física de materiales. Por lo tanto, el volumen disponible es 8000 cm ^ 3 y el volumen utilizable es 8000 × 74/100 = 5920 cm ^ 3, el volumen de una esfera es 4/3. Pi. r ^ 3 y aquí r = 1cm, que resulta ser 4.190 cm ^ 3. Por lo tanto, el número de esferas que teóricamente se pueden empacar es igual a 5920 / 4.19 = 1413 appx. Por supuesto, en estos cálculos se ha asumido que incluso las esferas se pueden cortar en partes para su embalaje.

Answer 3

Primero llenemos la capa inferior.

La primera fila se ajusta a 10 esferas.

La segunda fila irá a los espacios entre las esferas de la primera fila, por lo que solo caben 9 esferas. La distancia entre la primera fila y la segunda fila es [math] \ sqrt {3} [/ math] cm, como puede encontrar fácilmente utilizando la ley de Pitágoras. La tercera fila volverá a tener 10 esferas, etc.

En total, la primera capa tendrá 11 filas, para un total de [math] 2 + 10 \ times \ sqrt {3} [/ math] cm = 19.32 cm. Entonces la capa inferior se ajusta a 105 esferas.

La segunda capa entrará en los espacios entre las esferas de la primera capa. Habrá 10 filas, 5 con 9 esferas y 5 con 10 esferas para un total de 95 esferas.

La tercera capa será la misma que la primera capa, etc. La distancia entre capas es la altura de un tetraedro regular con bordes de 2 cm de largo, o [matemática] \ frac {2} {3} \ sqrt {6} [/ matemáticas] cm = 1.633 cm. Habrá 12 capas, 6 con 105 esferas y 6 con 95 esferas, para un total de 1200 esferas.

Answer 4

una esfera de radio de 1 cm tiene 2 cm de diámetro. Esto es IGUAL a la longitud, el ancho y la altura de un cubo de 2 cm, por separado. La respuesta para las esferas es la misma respuesta para los cubos:

Longitud de la caja de 20 cm = 10 esferas de 2 cm
Ancho de caja de 20 cm = 10 esferas de 2 cm. Eso es 100 esferas de largo y ancho.
Altura de la caja de 20 cm = 10 esferas de 2 cm. Son 1,000 esferas con un diámetro de 2 cm y un radio de 1 cm.

Suponiendo que los empaquetó en el centro exacto de cada esfera se alinearía con el centro exacto de los que están al lado, arriba y abajo.

Answer 5

Suponiendo que no se le permite alterar las esferas para que sean más fáciles de empacar, creo que la configuración más óptima le daría un total de 7,610. Esto, por supuesto, se basa en algunas suposiciones que no puedo probar en este momento, careciendo tanto de las esferas de 1 cm como de la caja ^ 3 de 20 cm.

Mi suposición es que las esferas de una capa dada encajarán en el espacio entre las esferas de la capa debajo de ella para que las esferas de la capa dada sobresalgan por encima de la capa inferior 1 cm (porque la altura efectiva de una esfera dada es de 2 cm) . Si esta suposición es correcta, supongo que debería ser capaz de tener una capa inferior de esfera de 20 × 20, seguida de una capa de esfera de 19 × 19 por encima de esa, y luego alternar entre ellas hasta llegar a la parte superior de la caja. Una capa de esfera de 20 × 20 contiene 400 esferas, y una capa de 19 × 19 contiene 361 esferas. Dado que, si mis suposiciones son correctas, tendrías 10 capas de cada una, que serían 4,000 esferas en las capas 20 × 20, y 3,610 esferas en las capas 19 × 19, para un total de 7,610 esferas.

Por supuesto, si alguno de mis supuestos son incorrectos, entonces no tengo idea de cuántas esferas podría encajar.

Editar: desde entonces he mirado imágenes de esferas empaquetadas, y el orificio creado por la intersección de las esferas es bastante poco profundo, tal vez el 10% de la altura total (entonces, tal vez 0.1 cm). Como tal, el número que di anteriormente es demasiado alto.

Lo siguiente también puede ser incorrecto, dependiendo de si la estimación del 10% es correcta, pero debería poder empacar 5 capas de 10 × 10 esferas y 5 capas de 9 × 9 esferas. Esto equivaldría a 901 esferas, con un espacio libre de 1 cm por encima de la capa superior.