Cómo calcular la superficie de la elipse que gira alrededor del eje x

Answer 1

Calculemos el área de la superficie de revolución cuando la elipse estándar [matemáticas] \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 [/ math] gira sobre el eje x. Tomamos la porción de la elipse cuya ecuación es [matemática] y = \ frac {b} {a} \ sqrt {1- \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} [/ matemática] y girarlo alrededor del eje x. El área de esta superficie de revolución viene dada por [matemáticas] \ int_ {x = -a} ^ {a} 2 \ pi y \ sqrt {1 + (\ frac {dy} {dx}) ^ {2}} dx [/matemáticas]. Poner los valores de [math] y = \ frac {b} {a} \ sqrt {1- \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} [/ math] y [math] \ frac { dy} {dx} = \ frac {\ frac {-bx} {a ^ {2}}} {\ sqrt {1- \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}} [/ math ], la integral se convierte en [matemáticas] 2 \ pi b \ int_ {x = -a} ^ {a} \ sqrt {1+ \ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}} (\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}} – 1} dx [/ math]. Para la elipse, [math] b ^ {2} = a ^ {2} (1-e ^ {2}) [/ matemática], [matemática] e [/ matemática] es la excentricidad. Entonces, la integral es [matemática] 2 \ pi \ frac {b} {a} \ int_ {x = -a} ^ {a} \ sqrt {a ^ {2} -e ^ {2} x ^ {2}} dx [/ math]. Ahora dejamos [math] x = \ frac {a} {e} \ sin \ theta [/ math]. When [math ] x = -a, [/ matemática] [matemática] \ theta = \ sin ^ {- 1} (- e) [/ matemática] y cuando [matemática] x = a [/ matemática], [matemática] \ theta = \ sin ^ {- 1} (e) [/ math]. Entonces, la integral ahora es [math] 2 \ pi \ frac {b} {a} \ frac {a ^ {2}} {e} \ int_ { \ theta_ {1}} ^ {\ theta {2}} \ cos ^ {2} \ theta d \ theta [/ math], donde [math] \ theta_ {1} = \ sin ^ {- 1} (- e ) [/ math], [math] \ theta_ {2} = \ sin ^ {- 1} (e) [/ math]. Ya que [math] \ cos ^ {2} \ theta = \ frac {1} {2 } (1+ \ cos 2 \ theta) [/ math], la integral es [math] 2 \ pi \ frac {b} {a} \ frac {a ^ {2}} {e} \ int _ {\ theta_ { 1}} ^ {\ theta {2}} \ frac {1} {2} (1+ \ cos 2 \ theta) d \ theta = \ pi \ frac {b} {a} \ frac {a ^ {2}} {e} [\ theta + \ frac {\ sin 2 \ theta} {2}] | _ {\ theta_ {1} } ^ {\ theta_ {2}} = \ pi \ frac {b} {a} \ frac {a ^ {2}} {e} [(\ theta_ {2} – \ theta_ {1}) + \ frac { 1} {2} (\ sin 2 \ theta_ {2} – \ sin 2 \ theta_ {1})] [/ math]. Ahora, [matemáticas] \ theta_ {1} = – \ theta_ {2} [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos \ theta_ {1} = \ cos \ theta_ {1} = \ sqrt {1-e ^ {2 }} [/ math] y [math] \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta. Entonces, \ sin 2 \ theta {1} = 2 \ sin \ theta_ {1} \ cos \ theta_ {1} = 2 (-e) \ sqrt {1-e ^ {2}} [/ math], [math ] \ sin 2 \ theta {2} = 2 \ sin \ theta_ {2} \ cos \ theta_ {2} = 2 (e) \ sqrt {1-e ^ {2}} [/ math]. Entonces, el valor de la integral es [matemáticas] \ pi \ frac {b} {a} \ frac {a ^ {2}} {e} [2 \ sin ^ {- 1} (e) + \ frac {1 } {2} (2 (e) \ sqrt {1-e ^ {2}} – 2 (-e) \ sqrt {1-e ^ {2}})] = \ frac {2 \ pi ab} {e } (\ sin ^ {- 1} (e) + e \ sqrt {1-e ^ {2}}) = 2 \ pi ab \ sqrt {1-e ^ {2}} (\ frac {\ sin ^ { -1} (e)} {e \ sqrt {1-e ^ {2}}} + 1) = 2 \ pi ab \ frac {b} {a} (\ frac {\ sin ^ {- 1} (e )} {e} \ frac {a} {b} +1) [/ math], ya que [math] b = a \ sqrt {1-e ^ {2}} [/ math]. Entonces, el área de la superficie de revolución obtenida al girar una elipse estándar alrededor del eje x es [matemática] 2 \ pi b ^ {2} (\ frac {\ sin ^ {- 1} (e)} {e} \ frac {a} {b} +1) [/ matemáticas].

La ecuación de la elipse en el problema es [matemáticas] y ^ {2} + 4x ^ {2} = 1 [/ matemáticas], o [matemáticas] \ frac {x ^ {2}} {3 ^ {2}} + \ frac {y ^ {2}} {6 ^ {2}} = 1 [/ math]. Entonces, el eje mayor = [matemática] a = 6 [/ matemática], y el eje menor = [matemática] b = 3 [/ matemática], siendo el eje mayor de la elipse a lo largo del eje y. La excentricidad [matemática] e [/ matemática] es [matemática] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemática]. Entonces, el área requerida es 2 [matemáticas] \ pi 3 ^ {2} (\ frac {\ pi / 6} {\ sqrt {3} / 2} 2 + 1) = 18 \ pi (\ frac {2 \ pi } {3 \ sqrt {3}} + 1) [/ math].

Answer 2

Una manera simple de hacer esto es usar el teorema de Pappus.

Pero entonces, la línea no debe intersectarse. Entonces, tomo solo la mitad de la elipse.

No se usa cálculo aquí.
Aunque, el cálculo se usa para probar los teoremas de Pappus.

Jafar Ala – Deseo que por favor revisen mi respuesta y su respuesta nuevamente. Porque hay un 40sq. diferencia unitaria entre nuestras dos respuestas.

¡¡Que tengas un gran día!!

Answer 3

El área de la superficie girando y = f (x) alrededor del eje x es

S = 2π veces la integral de y√ (1+ (y ‘) ^ 2). “ Eq1

En este caso y ^ 2 = 36 – 4x ^ 2

Entonces y = 2√ (9-x ^ 2). “ Eq2

y ‘= dy / dx = 2 (1/2) (9-x ^ 2) ^ (- 1/2) (- 2x) = (-2x) / √ (9-x ^ 2)

(y ‘) ^ 2 = 4x ^ 2 / (9-x ^ 2)

√ (1+ (y ‘) ^ 2) = √ (1 + 4x ^ 2 / (9-x ^ 2) = √ (9 + 3x ^ 2) / √ (9-x ^ 2,, Eq3

Sustituya Eq2 y Eq3 en Eq1

S = 2π [2 √ (9-x ^ 2)] [√ (9 + 3x ^ 2) / √ (9-x ^ 2)]. , cancele √ (9-x ^ 2)

S = 2π (2) integral de √ (9 + 3x ^ 2) dx = Int de 4π √ (9 + 3x ^ 2) dx

S = int de 4√3π√ (3 + x ^ 2) dx. “ Eq4

En esta etapa debes obtener los límites de integración

y = 0 de la ecuación 2 y luego x = +3 o -3

Me temo que se está haciendo tarde, trabajo mañana, así que solo puedo dirigir el resto del camino

Para integrar √ (3 + x ^ 2) usará funciones hiperbólicas

cosh ^ 2 z = 1 + sinh ^ 2 z, así que sea x = √ 3 sinh z, Eq5

dx = √3 cosh z“ Eq6

Pon Eq5 y Eq 6 en Eq4 y continúa.

¡No me digas que use látex!

Answer 4

Haga que x sea el sujeto (en términos de y) e integre con respecto a y. La forma general de la integral es [matemáticas] y = \ int 2 \ pi x \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} [/ matemáticas] así que si desea integrarse con respecto a y debe factorizar dy, que deja una [matemática] (\ frac {dx} {dy}) ^ 2 [/ matemática] dentro de la raíz cuadrada.

Answer 5

(Este es un enfoque intuitivo, no totalmente riguroso para derivar la fórmula)

Considérelo de esta manera, la superficie de la que desea calcular la forma es un objeto similar a una rosquilla, es decir, puede considerar cualquier plano a través del eje x, en la intersección entre ese plano y la superficie en cuestión ser una elipse como la que ves si la examinas solo en el plano xy. En el plano xy, la elipse es en términos de dos variables, el valor xy el valor y. Sin embargo, el valor y es realmente solo la distancia del punto en la elipse desde el punto más cercano en el eje x. Si considera la elipse en cualquier plano a través del eje x, puede expresar la elipse en términos del valor xy la distancia desde el eje x (deje que [math] r [/ math] sea la distancia desde el eje x ): [matemáticas] r ^ 2 + 4x ^ 2 = 36 [/ matemáticas].

Lo que tenemos ahora es la fórmula para una superficie en coordenadas cilíndricas. Las coordenadas cilíndricas son una de las extensiones de las coordenadas polares en tres dimensiones, donde cualquier punto puede especificarse con un valor x (la altura del punto sobre el plano yz), un valor r (la distancia del punto desde el punto más cercano en el eje x) y un valor [matemático] \ theta [/ matemático] (si dibujó una línea que conecta el punto más cercano en el eje x con el punto en cuestión, [matemático] \ theta [/ matemático] es el ángulo entre esa línea y el eje y). Dado que esta ecuación es [matemática] \ theta [/ matemática] independiente, sabemos que la ecuación es cilíndricamente simétrica alrededor del eje x, lo que significa que si gira la forma alrededor del eje x se verá igual sin importar cuánto lo has hecho girar Esto tiene sentido ya que creamos la superficie girando la elipse alrededor del eje para crear algo simétrico a su alrededor.

Ahora, si queremos expresar esta fórmula en coordenadas cartesianas (no es que haya algo peor o incorrecto con las coordenadas cilíndricas, de hecho, funciona mucho mejor para esta ecuación), simplemente podemos conectar [matemáticas] r ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas] *. Obtenemos la siguiente ecuación: [matemáticas] y ^ 2 + z ^ 2 + 4x ^ 2 = 36 [/ matemáticas]. Este objeto se llama elipsoide, es la versión 3D de una elipse de la misma manera que una esfera es la versión 3D de un círculo.

* La derivación para [matemáticas] r ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 [/ matemáticas] es bastante fácil. Considere algún punto [matemática] (x, y, z) [/ matemática], para este punto [matemática] r [/ matemática] es la distancia desde el punto más cercano en el eje x hasta este punto. Deje [math] w (x_0) = (x-x_0) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 [/ math], luego [math] w [/ math] es la distancia al cuadrado desde el punto [math] (x , y, z) [/ math] en algún punto del eje x, [math] (x_0, 0, 0) [/ math]. ¿Qué [matemática] x_0 [/ matemática] podemos elegir para minimizar [matemática] w [/ matemática] (que también minimizará la distancia desde el punto en el eje hasta el punto en cuestión)? Bueno, puedes resolver las matemáticas, pero debería ser obvio que [matemáticas] x = x_0 [/ matemáticas] minimizará esta función, y obtendrás [matemáticas] w = r ^ 2 = y ^ 2 + z ^ 2 [ /matemáticas].