¿Qué es un espacio euclidiano?

Answer 1

El espacio convencional 2D o 3D (o para el caso n D) que usamos regularmente se llama espacio euclidiano, también llamado espacio plano .

¿Por qué se llama así? Porque todas las leyes clásicas de la geometría que conocemos (teorema de Pitágoras, propiedades de los polígonos, etc.) solo son válidas (en la forma en que las conocemos) en espacios planos. Lo que significa es que la línea que une dos puntos en este espacio es recta .

Imagina la pantalla de tu computadora. Dibuje dos puntos en cualquier lugar ( clave: ‘Imagine’ ).
Ahora, la forma más corta de llegar a un punto desde el otro es una línea recta , porque este espacio es plano .

Ahora imagine esos dos puntos en la superficie de una pelota de baloncesto. Para simplificar, en extremos diametralmente opuestos (en postes , si lo prefiere). Hay infinitas formas de llegar a un punto desde el otro, pero la más corta es el semicírculo que conecta los puntos; ya que este ‘espacio’ es curvo . Obviamente, el teorema de Pitágoras no funcionaría aquí (ya que no hay líneas rectas que conecten tres puntos no lineales).

Por lo tanto, existe este concepto de espacio plano en oposición al espacio curvo . Y el espacio plano se llama convencionalmente el espacio euclidiano porque toda la geometría euclidiana se realizó en el espacio plano.

Answer 2

¿Qué es un espacio euclidiano?

El espacio, en matemáticas, es una colección de puntos geométricos.

Cualquier línea simple, corta o larga, se compone de innumerables puntos. Es útil definir una colección de puntos como un espacio. Una línea puede estar doblada o no doblada, por lo que el espacio en cuestión puede ser curvo o no curvado. Los llamamos euclidianos o no euclidianos .

Por otra parte, dado que cualquier punto en una línea se puede ubicar especificando solo un número (su distancia a lo largo de una u otra dirección opuesta a un punto fijo en la línea) decimos que este espacio lineal es unidimensional . Si consideramos el agregado de puntos en la circunferencia de un círculo, tenemos otro ejemplo de un espacio curvo (no euclidiano) unidimensional, excepto que este espacio no tiene puntos finales.

Por lo tanto, se describe como sin límites , a diferencia de la línea abierta que está limitada . La línea y la circunferencia del círculo también son finitas : su medida no es ilimitada.

Podemos extender estas ideas a puntos en un plano para generar un espacio bidimensional que nuevamente puede ser euclidiano o no. La superficie de una mesa plana es un espacio euclidiano finito, bidimensional, acotado; mientras que el de una pelota es un ejemplo de un espacio finito, bidimensional, ilimitado, no euclidiano. Todos los puntos que forman el cuerpo de un cubo constituyen un espacio euclidiano tridimensional, limitado y finito.

¿Podemos imaginar un espacio curvo tridimensional? Aquí hay un desafío para la destreza de creación de imágenes de la mente humana. Por más que lo intentemos, no podemos imaginar un mundo donde el espacio físico tridimensional sufra una curvatura. La razón es simple: para el espacio curvo de cualquier dimensión, necesitamos un espacio que sea al menos una dimensión más alta en el que posiblemente pueda curvarse. Es por eso que necesitamos una hoja de papel de dos dimensiones para dibujar una línea curva y un espacio tridimensional (que tiene volumen) para acomodar la superficie de una pelota. Pero, ¿dónde está la cuarta dimensión en la que nuestro espacio tridimensional puede curvarse? Estamos limitados en nuestras imágenes.

Otra nota sobre terminología técnica: se dice que las características medibles de distancias cortas en un espacio están dadas por su métrica . La métrica del espacio plano (sin curva) se dice que es euclidiana. Los espacios curvos tienen otros tipos de métrica, dependiendo de la naturaleza de su curvatura. Se dice que un espacio curvo cerrado tiene métrica riemanniana.

Answer 3

Te diré lo que es desde un punto de vista matemático.

Supongamos que tomo 2 puntos en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Deje que sus coordenadas sean [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + dx, y + dy, z + dz) [/ matemáticas]

La distancia [matemática] ds [/ matemática] entre estos 2 puntos adyacentes viene dada por [matemática] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemática]

Un tipo llamado Riemann extendió el concepto de distancia a un espacio de dimensiones [matemáticas] n [/ matemáticas]. Definió la distancia [matemática] ds [/ matemática] entre 2 puntos adyacentes [matemática] x ^ i [/ matemática] y [matemática] x ^ i + dx ^ i [/ matemática] (He utilizado la convención de suma aquí i = 1,2, …, n) por la relación …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} ds ^ 2 = a_ {11} (dx ^ 1) ^ 2 + a_ {22} (dx ^ 2) ^ 2 +… + a_ {nn} (dx ^ n) ^ 2 + a_ {12} dx ^ 1dx ^ 2 +… + a_ {lm} dx ^ ldx ^ m +… \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

Usando la Convención de resumen, podemos reescribirlo como …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} ds ^ 2 = a_ {ij} dx ^ idx ^ j \ end {split} \ end {equation} \ tag * {(1)} [/ math]

Tenga en cuenta que los coeficientes [matemática] a_ {ij} [/ matemática] son ​​las funciones de las coordenadas [matemática] x ^ i [/ matemática]. La forma cuadrática [matemática] (1) [/ matemática] se llama métrica riemanniana y cualquier espacio en el que las distancias estén definidas por dicha métrica se llama espacio riemanniano.

Ahora por diversión, consideremos un sistema de coordenadas particular [matemática] X ^ i [/ matemática]. La forma cuadrática [matemáticas] (1) [/ matemáticas] reducida a la forma …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} ds ^ 2 = (dX ^ 1) ^ 2 + (dX ^ 2) ^ 2 +… + (dX ^ n) ^ 2 \ end {split} \ end { ecuación} \ tag * {} [/ math]

Si esta es la forma, entonces se llama Métrica Euclidiana y el espacio correspondiente donde las distancias son dadas por dicha métrica se llama Espacio Euclidiano .

Answer 4

Desafortunadamente, y como de costumbre, puede significar varias cosas diferentes.

• Puede significar el plano o el espacio 3d en su capacidad como teatros para hacer geometría euclidiana: puntos, líneas, círculos, planos, etc., con las reglas y axiomas habituales (oficialmente, axiomas de Hilbert).
• Puede significar lo mismo, extendido a cualquier dimensión, a veces llamado [math] \ mathbf {E} ^ n [/ math].
• Puede significar un espacio vectorial [math] n [/ math] -dimensional sobre los números reales, convencionalmente representado por [math] \ R ^ n [/ math].
• Puede significar lo mismo con el producto interno estándar: ahora es un espacio de producto interno.
• Puede significar lo mismo con la función de distancia euclidiana habitual. Ahora es un espacio métrico.
• Puede significar lo mismo con solo la topología estándar. Ahora es un espacio topológico.

Cuál es pertinente en cualquier contexto específico depende de ese contexto específico. El significado más común es probablemente [matemáticas] \ R ^ n [/ matemáticas] con el producto interno habitual y la norma resultante, la distancia, la topología y el grupo de simetría.

Answer 5

Es el espacio en el que tradicionalmente pensamos para la geometría estándar definida por Euclides. tiene las reglas que la mayoría de nosotros reconoce instintivamente para nuestra realidad. Se define de manera única porque hay otros tipos de espacios y geometrías que pueden o no ser ‘reales’, pero que son muy útiles para resolver algunas preguntas interesantes.
Pero para ser precisos: “Espacio euclidiano:
En geometría, el espacio euclidiano abarca el plano euclidiano bidimensional, el espacio tridimensional de la geometría euclidiana y ciertos otros espacios. Lleva el nombre del matemático griego antiguo Euclides de Alejandría. El término “Euclidiana” distingue estos espacios de otros tipos de espacios considerados en la geometría moderna. Los espacios euclidianos también se generalizan a dimensiones superiores “.

La cita se extrajo de Wikipedia, por lo que me pregunto por qué se nos hacen preguntas de matemáticas / física en Quora que el consultante puede responder directamente con una investigación muy escasa. Siento que nosotros, definitivamente yo, no estamos ayudando a las personas a aprender nueva información útil, sino que simplemente los estamos ayudando a hacer trampa y a obtener respuestas que se supone que están luchando para llegar a ellos mismos; eso es lo que se necesita para aprender, no solo obtener la respuesta que se le entrega (mientras que los negocios, por otro lado, recompensarán en gran medida solo por obtener la respuesta correcta para satisfacer la necesidad).

Puedo apreciar la realidad de que no todas las personas pueden llegar allí desde aquí sin ayuda, y que pueden estar realmente perdidos por lo que me parece un caso claro de ‘puedes hacer esto tú mismo y ser mejor para ello’. Alguien más tiene pensamientos sobre este dilema ético.

Answer 6

n-dimensional (n = 1,2, …) El espacio euclidiano ‘R ^ n’ es el producto cartesiano de ‘n’ copias de la línea de coordenadas de números reales ‘R’. Algunos pueden dejarlo así. Por lo general, también es un espacio métrico con ‘distancia’ entre dos puntos definidos en términos de sus coordenadas. Es una extensión formal de ‘R ^ 3’, nuestro espacio tridimensional familiar.