Considere la sección transversal anterior del tronco. CB se da como el diámetro base del tronco. Aquí DC = FC = EB = AB = so la altura inclinada. Deje que el ángulo DCF sea [matemática] \ theta [/ matemática].
Como [math] \ theta [/ math] varía de 0 a 90, el volumen del frustum cambia. Cuando [math] \ theta = 0 [/ math], el tronco se convierte en un cilindro y su volumen se convierte en [math] \ pi * r ^ 2 * h [/ math] (ver FEBC). Tenemos que encontrar el volumen máximo a medida que [math] \ theta [/ math] cambia de 0 a 90. Para esto, primero podemos considerar el área de esta sección transversal, encontrar el [math] \ theta [/ math] que maximizará esta área y luego calcular el volumen sobre la base de esa [matemática] \ theta [/ matemática].
[matemáticas] A (\ theta) = S cos \ theta S sin \ theta + r S cos \ theta [/ math]
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Poner [matemáticas] \ frac {d (A (\ theta))} {d \ theta} = 0 [/ matemáticas]
Conseguirás
[matemáticas] \ theta = {sin} ^ {- 1} (\ frac {-r + \ sqrt {r ^ 2 + 8s ^ 2}} {4s}) [/ matemáticas]
Como el volumen de un frustum es [matemática] \ frac {\ pi h (r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_1r_2)} {3}, [/ matemática] donde [matemática] r_1 [/ matemática] y [matemática] r_2 [ / math] son los radios de las dos caras circulares, y h es la altura del tronco (en nuestro caso [math] r_1 [/ math] es [math] r / 2 [/ math] y [math] r_2 [/ matemática] es [matemática] S sin \ theta + r / 2 [/ matemática]); [matemática] [/ matemática]
volumen máximo [matemáticas] = \ frac {\ pi S cos \ theta ((r / 2) ^ 2 + (r / 2) (S sin \ theta + r / 2) + (S sin \ theta + r / 2) ^ 2)} {3} [/ matemáticas]