¿Cuáles son las diferencias visibles entre un círculo, una elipse, una parábola y una hipérbola?

Answer 1

Una sección cónica (o simplemente cónica ) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse . El círculo es un caso especial de la elipse, y es de suficiente interés por derecho propio que a veces se le llamó un cuarto tipo de sección cónica.

Geométricamente, un locus de plano que mantiene una relación constante (llamada excentricidad ) la distancia desde un punto específico (llamado foco ) y desde una línea recta particular (llamada Directrix) se llama cónica.

En el sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables es siempre una sección cónica y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación más general es de la forma

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación pueden clasificarse por el Discriminante de la ecuación:

• si [matemática] B ^ 2 – 4AC <0 [/ matemática], la ecuación representa una elipse; si [matemática] A = C [/ matemática] y [matemática] B = 0 [/ matemática], la ecuación representa un círculo , que es un caso especial de una elipse;
• si [matemáticas] B ^ 2- 4AC = 0 [/ matemáticas], la ecuación representa una parábola;
• si [matemática] B ^ 2 – 4AC> 0 [/ matemática], la ecuación representa una hipérbola; si también tenemos [matemática] A + C = 0 [/ matemática], la ecuación representa una hipérbola rectangular.

En la notación utilizada aquí, [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​coeficientes polinómicos, en contraste con algunas fuentes que denotan los ejes semi mayor y semi menor como A y [matemática] B [/ matemáticas].

Entonces, la principal diferencia entre estas 4 curvas es su excentricidad .

• si [matemática] e = 0 [/ matemática] , la ecuación representa un círculo
• si [matemática] 0 <e <1 [/ matemática] , la ecuación representa una elipse
• si [matemáticas] e = 1 [/ matemáticas] , la ecuación representa una parábola
• si [matemática] e> 1 [/ matemática] , la ecuación representa una hipérbola
• if [math] e = \ infty [/ math] , la ecuación representa una línea recta

Para más consulta vaya al enlace:

Sección cónica – Wikipedia

http://mathworld.wolfram.com/Con…

Círculo – Wikipedia

Parábola – Wikipedia

Parábola – de Wolfram MathWorld

Elipse – Wikipedia

Elipse – de Wolfram MathWorld

Hipérbola – Wikipedia

Hipérbola – de Wolfram MathWorld

Answer 2

Su ilustración no muestra correctamente una hipérbola, que requiere una forma de reloj de arena de doble cono para que funcione como una sección cónica.

La hipérbola consiste en dos líneas parabólicas que se curvan una de la otra para que nunca se crucen. No se puede mostrar en un solo cono.

La parábola se puede demostrar en el doble cono mediante el uso de un plano que solo se cruza con uno de los conos.

Answer 3

Una vez conocí a un viejo profesor jubilado de estadística que estaba lleno de entusiasmo matemático, incluso en la jubilación. Una vez me planteó este problema algo mal definido:

Supongamos que le dan una curva y le dicen que es una parte de una sección cónica. Pero no sabes si es una elipse, un círculo, una parábola o una hipérbola. Usando solo técnicas “prácticas”, ¿cómo puede determinar qué tipo de sección cónica es?

Por supuesto, la parte “práctica” está mal definida. Pero el espíritu del problema era que querías tener una mentalidad griega antigua: puedes hacer mediciones de longitudes y áreas, pero no puedes hacer técnicas modernas como el ajuste de curvas.

No recuerdo su resultado específico, pero la técnica general era dibujar un triángulo: creo que un triángulo de área máxima con vértices al final de la curva. Luego, compara el área de ese triángulo con el área “encerrada” por el segmento. (Es decir, el área de la curva cerrada que obtiene dibujando una línea entre los puntos finales del segmento de sección cónica).

La proporción de esas áreas determina la naturaleza de la curva: no recuerdo exactamente, pero creo que esa proporción tenía un valor exacto (¿quizás 1/3?) Para una parábola, tenía menos de ese valor para una hipérbola, y más que ese valor para una elipse.

Sin duda, mi memoria es un poco vaga en esto, así que no tome este resultado (… incluso un resultado de esta forma ) como evangelio. De hecho, si estás motivado, ¡considera una conjetura explorar!