Euclides reconoció la dificultad en esta pregunta. Lo dividió en dos partes.
Primero, definió qué es un círculo. En términos modernos, dados dos puntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], el círculo cuyo centro es [matemático] A [/ matemático] y cuyo radio es [matemático] AB [/ matemático] consiste en todos los puntos [matemática] C [/ matemática] tal que [matemática] AC = AB [/ matemática].
Esta definición no dice nada sobre la existencia o las propiedades de los círculos. Así que incluyó un axioma que dice que los círculos existen, de hecho. Luego, con varios otros axiomas (algunos que no dijo explícitamente pero que debería haber hecho), probó teoremas que establecen varias propiedades de los círculos.
Si comienza con la geometría de coordenadas, tendrá algunas definiciones (como la distancia entre dos puntos) y axiomas que se ven muy diferentes (como los axiomas para números reales).
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