¿Cuál es la ecuación del círculo que pasa por tres puntos (-3, 1), (5, -3), (-3, 4)?

Answer 1

Deje que los puntos sean [matemática] A (-3,1) [/ matemática], [matemática] B (5, -3) [/ matemática] y [matemática] C (-3, 4) [/ matemática] y deje que el circuncentro del triángulo [matemática] ABC [/ matemática] sea [matemática] P (a, b) [/ matemática].

[matemáticas] \ displaystyle PA = PB [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] PA ^ 2 = PB ^ 2 [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] \ displaystyle (a + 3) ^ 2 + (b-1) ^ 2 = (a-5) ^ 2 + (b + 3) ^ 2 \\ [/ matemáticas]

de donde [math] \ displaystyle 2a-b = 3 \ ldots (1) \\ [/ math]

Del mismo modo, [math] \ displaystyle PA = PC [/ math], o

[matemáticas] \ displaystyle (a + 3) ^ 2 + (b-1) ^ 2 = (a + 3) ^ 2 + (b-4) ^ 2 \\ [/ matemáticas]

de donde [matemáticas] \ displaystyle b = \ frac {5} {2} [/ matemáticas]. Sustituyendo este valor de [math] b [/ math] en la Ecuación (1), obtenemos [math] a = \ frac {11} {4} [/ math].

Por lo tanto, el circuncentro es el punto [matemáticas] P (\ frac {11} {4}, \ frac {5} {2}) [/ matemáticas].

El circunradio, [matemática] r [/ matemática], se puede calcular como

[matemáticas] \ displaystyle r = PA = \ sqrt {(a + 3) ^ 2 + (b-1) ^ 2} = \ sqrt {\ left (\ frac {11} {4} +3 \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {5} {2} -1) ^ 2 \ right)} = \ frac {\ sqrt {565}} {4} \\ [/ math]

La ecuación del círculo ahora se escribe de la siguiente manera.

[matemáticas] \ displaystyle (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ left (x- \ frac {11} {4} \ right) ^ 2 + \ left (y- \ frac {5} {2} \ right) ^ 2 = \ frac {565} {16 }\\[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2x ^ 2 + 2y ^ 2-11x-10y-43 = 0 \\ [/ matemáticas]

Answer 2

Bien. Esto es bastante elemental, pero me gustaría sugerir algún método para ahorrar tiempo.

Deje que la ecuación del círculo sea [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 ……… (1) [/ matemática]

Al sustituir las coordenadas dadas (x, y) obtenemos las siguientes ecuaciones.

10–6g + 2f + c = 0 …………… (2)

34 + 10g-6f + c = 0 …… (3)

25–6g = 8f + c = 0 …… .. (4)

Normalmente uno resolvería g, f y c de las últimas 3 ecuaciones y sustituiría en (1) Pero estoy viendo las 4 ecuaciones y 3 incógnitas y establecer condiciones de consistencia para g, f y c.

Se deduce que el determinante de la matriz aumentada debe ser cero.

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & 2x & 2y & 1 \\ 10 & -6 & 2 & 1 \\ 34 & 10 & -6 & 1 \\ 25 & -6 & 8 & 1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Uno puede expandirlo tal como está o hacer algunas transformaciones de fila para hacer que todos los elementos sean cero como sea posible para reducir el error en la expansión.

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & 2x & 2y & 1 \\ 43 & 0 & 0 & 2 \\ 11 & 4 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 2 & 0 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Expandiendo y luego dividiendo entre 8 obtenemos

[matemáticas] 2 (x ^ 2 + y ^ 2) -11x-10y-43 = 0 [/ matemáticas]

como la ecuación del círculo.

Answer 3

Como sabemos, el ángulo en un semicírculo es [matemática] 90 ^ 0 [/ matemática]. Entonces, si dibujamos perpendicular a [math] \ color {red} {AB} [/ math] a B, y perpendicular a [math] \ color {red} {AC} [/ math] a C, se encontrarán en D , y esta D estará en círculo y será un punto diametralmente opuesto de A.

Tomar,
A = (-3,1)
B = (5, -3)
C = (-3,4)

Ahora tome la línea [math] \ color {green} {BD} [/ math] perpendicular a [math] \ color {red} {AB} [/ math]:
Pendiente de AB = [matemáticas] \ frac {1 – (- 3)} {- 3 -5} = – \ frac {1} {2} = m_1 [/ matemáticas]
Pendiente de BD = [matemática] – \ frac {1} {m_1} = 2 [/ matemática]
Ecuación de la línea BD: [matemática] \ frac {y – (- 3)} {x-5} = 2 [/ matemática], o, [matemática] 2x – y = 13 [/ matemática]

Ahora tome la línea [math] \ color {green} {CD} [/ math] perpendicular a [math] \ color {red} {AC} [/ math]:
Pendiente de AC = [matemática] \ frac {1-4} {- 3 – (- 3)} = \ frac {1} {0} = [/ matemática] [matemática] m_2 [/ matemática]
Pendiente de CD = [matemáticas] – \ frac {1} {m_2} = 0 [/ matemáticas]
Ecuación de la línea CD: [matemáticas] \ frac {y-4} {x – (- 3)} = 0 [/ matemáticas], o, [matemáticas] y = 4 [/ matemáticas]

Al resolver las dos ecuaciones [matemáticas] \ color {verde} {BD} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ color {verde} {CD} [/ matemáticas] , obtenemos el punto D:
[matemáticas] 2x – 4 = 13 [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] x = \ frac {17} {2} [/ matemáticas] , [matemáticas] y = 4 [/ matemáticas]
D = ([matemáticas] \ dfrac {17} {2} [/ matemáticas], 4)

Ecuación del círculo: (ahora conocemos dos puntos finales diametrales del círculo, A y D, y también la línea de diámetro [matemática] \ color {azul} {AD} [/ matemática])
[matemáticas] (x – (- 3)) (x- \ dfrac {17} {2}) + (y-1) (y-4) = 0 [/ matemáticas]

Answer 4

Hay una deliciosa fórmula “similar a un cordón” para encontrar el centro de un círculo, dados tres puntos. Suponga que los tres puntos están dados por esta tabla:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} x & y \\ \ hline -3 & 1 \\ \ hline 5 & -3 \\ \ hline -3 & 4 \ end {array} \ tag * {} [/matemáticas]

Ahora, agregue una tercera columna, que es la distancia al cuadrado desde el origen de cada punto:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c} x & y & \ text {sum sq} \\ \ hline -3 & 1 & 10 ~ = ~ (-3) ^ 2 + 1 ^ 2 \\ \ hline 5 & -3 & 34 ~ = ~ 5 ^ 2 + (- 3) ^ 2 \\ \ hline -3 & 4 & 25 ~ = ~ (-3) ^ 2 + 4 ^ 2 \ end {array} \ etiqueta * {} [/ math]

A continuación, voy a pedirle que “calce” las columnas [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] de esta tabla. Para entender lo que quiero decir, eche un vistazo a este artículo: Fórmula de cordones de los zapatos – Wikipedia. Por conveniencia, usaré el punto “[math] \ cdot [/ math]” como mi operador de “cordón de zapato” Aquí está la tabla completada para [math] x \ cdot y [/ math]:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -3 & 1 & 10 & 4 = \ small {(- 3 * -3) – (1 * 5)} & ~ & ~ \\ \ hline 5 & -3 & 34 & 11 = \ small {(5 * 4) – (- 3 * -3)} & ~ & ~ \\ \ hline -3 & 4 & 25 & 9 = \ small {(- 3 * 1) – (4 * -3)} & ~ & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]

¿Ves cómo el último par de cordones de los zapatos “envuelve” en la parte superior? [math] 9 = \ small {(- 3 * 1) – (4 * -3)} [/ math] proviene de la primera y la última fila.

Y ahora, para completar la columna de [math] y \ cdot \ text {sum sq} [/ math]:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -3 & 1 & 10 & 4 & 64 = \ small {(1 * 34) – (10 * -3)} & ~ \\ \ hline 5 & -3 & 34 & 11 & -211 = \ small {(- 3 * 25) – (34 * 4)} & ~ \\ \ hline -3 & 4 & 25 & 9 & 15 = \ small {(4 * 10) – (25 * 1)} & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Finalmente, para completar la última columna, [math] \ text {sum sq} \ cdot x [/ math], observe cómo se ajustan las columnas, al igual que las filas. Puedes pensar en esta matriz de tres por tres que estamos entrelazando como si fuera una dona. Es decir, estamos usando la topología de toro, de modo que todo se envuelve desde la parte inferior hacia la parte superior y del lado derecho hacia la izquierda.

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -3 & 1 & 10 & 4 & 64 & 152 = \ small {(10 * 5) – (- 3 * 34)} \\ \ hline 5 & -3 & 34 & 11 y -211 y -227 = \ small {(34 * -3) – (5 * 25)} \\ \ hline -3 y 4 y 25 y 9 y 15 y -45 = \ small {(25 * -3 ) – (- 3 * 10)} \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Ahora, sume los totales para todas las columnas de “cordón”:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -3 & 1 & 10 & 4 & 64 & 152 \\ \ hline 5 & -3 & 34 & 11 & -211 & -227 \\ \ hline -3 & 4 & 25 & 9 & 15 & -45 \\ \ hline \ hline ~ & ~ & ~ & 24 & -132 & -120 \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Ahora, el centro del círculo tiene las siguientes coordenadas:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ y \ cdot \ text {sum sq}} {x \ cdot y} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ \ text {sum sq} \ cdot x} {x \ cdot y} \ right) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] ~ = ~ \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} (- 132)} {24} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} (- 120)} { 24} \ right) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] ~ = ~ \ left (\ dfrac {11} {4} ~, ~ \ dfrac {5} {2} \ right) \ tag * {} [/ math]

Ahora solo necesitamos encontrar el cuadrado del radio, que es la distancia desde el centro a uno de los tres puntos.

[matemáticas] r ^ 2 ~ = ~ \ left (-3- \ dfrac {11} {4} \ right) ^ 2 ~ + ~ \ left (1- \ dfrac {5} {2} \ right) ^ 2 ~ = ~ \ dfrac {565} {16} \ tag * {} [/ math]

Y la ecuación del círculo es:

[matemáticas] \ left (x- \ dfrac {11} {4} \ right) ^ 2 + \ left (y- \ dfrac {5} {2} \ right) ^ 2 ~ = ~ \ dfrac {565} {16 } \ tag * {} [/ math]

Answer 5

La ecuación general de un círculo es

x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0

3 desconocidos aquí, tienes 3 puntos. Pon 3 puntos en la ecuación. Obtendrá 3 eqns. Soluciónalos .

Puedes encontrar fácilmente la ecuación.

Answer 6

1. Primero deje que las coordenadas centrales del círculo sean x, y luego puede encontrar su distancia desde los tres puntos Al resolver la ecuación obtenemos el valor de x e y Luego, encontrar el radio del círculo