Considere la siguiente elipse con ejes mayores y menores que miden [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], respectivamente:
Se obtiene estirando [1] el círculo con radio [matemática] b [/ matemática] a lo largo del eje [matemática] X [/ matemática] por un factor de [matemática] \ dfrac {a} {b} [/ matemática] . Por lo tanto, cualquier triángulo en el círculo también se ensancha a lo largo del eje [matemático] X [/ matemático] por un factor de [matemático] \ dfrac {a} {b} [/ matemático]. Considere el siguiente triángulo en el círculo:
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Si el círculo se estira en la dirección horizontal por un factor de [math] \ dfrac {a} {b} [/ math], entonces las altitudes de los triángulos [math] \ bigtriangleup ABC [/ math] y [math] \ bigtriangleup OAC [/ math] (en la dirección horizontal) también aumenta en un factor de [math] \ dfrac {a} {b} [/ math] mientras que sus bases [math] (AC) [/ math] siguen siendo las mismas. Por lo tanto, el área general de [math] \ bigtriangleup OAB [/ math] aumenta en un factor de [math] \ dfrac {a} {b} [/ math]. Dado que el área del círculo es [matemática] \ pi b ^ 2 [/ matemática], que se obtiene sumando las áreas de triángulos elementales como [matemática] \ bigtriangleup OAB [/ matemática], por lo tanto, el área de la elipse debe ser [math] \ dfrac {a} {b} [/ math] veces el área del círculo. Por lo tanto, el área de la elipse es [math] \ boxed {\ pi ab} [/ math].
Si bien el método anterior es el más fácil y el más intuitivo que se me ocurre, también puede usar el cálculo si la explicación anterior no le resulta clara. Usar cálculo es bastante sencillo. De la ecuación de la elipse:
[matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1, [/ matemáticas]
obtenemos su área como
[matemáticas] A = \ displaystyle 4b \ int_0 ^ a \ sqrt {1 – \ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2}} \ mathrm {d} x [/ math]
Emplee la sustitución [matemática] x = a \ sen t [/ matemática] para evaluar la integral.
[1] Para entender esto, considere la ecuación del círculo, que es [matemáticas] \ dfrac {x ^ 2} {b ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas].