Si un círculo está inscrito en un triángulo equilátero con cada lado con una longitud de 3 unidades, ¿cuál es la circunferencia del círculo?

Answer 1

Usando trigonometría, se puede calcular que la altitud de un triángulo equilátero es igual a la mitad de la longitud del lado multiplicado por la raíz cuadrada de 3. En este caso, sería [matemática] 3 * sqrt (3) / 2 [/ matemática]

Para un triángulo equilátero, el centroide y el incentro están en el mismo punto. Dado que el incentro , el centro de un círculo inscrito en ese triángulo, es equidistante de todos los lados, entonces el radio del círculo inscrito es la distancia desde el incentro al lado.

El centroide se encuentra a un tercio de la distancia desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto. En un triángulo equilátero, el segmento desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto es la altitud. Entonces, en un triángulo equilátero, el centroide se encuentra a un tercio de la altitud desde el lado.

Como el centroide y el incentro están en el mismo punto, la distancia al centroide es el radio del círculo inscrito.

En este caso: [matemáticas] r = 1/3 * 3 * sqrt (3) / 2 = sqrt (3) / 2 [/ matemáticas]

La circunferencia es [matemáticas] 2 * pi * r [/ matemáticas] ==> [matemáticas] 2 * pi * sqrt (3) / 2 [/ matemáticas] ==> [matemáticas] pi * sqrt (3) [/ matemáticas ]

Answer 2

Si un círculo está inscrito en un triángulo equilátero con cada lado con una longitud de 3 unidades, ¿cuál es la circunferencia del círculo?

El triángulo equilátero forma 6 triángulos congruentes dentro del triángulo equilátero. Estos triángulos congruentes tendrán sus ángulos de 30, 60 y 90 grados. La base de los triángulos congruentes será la mitad del lado del triángulo equilátero y, por lo tanto, 1.5 unidades. La altitud del triángulo equilátero será 1.5 tan 30 = 0.866025403 unidad y la hipotenusa, que también será el radio del círculo inscrito = 1.5 seg 30 = 1.732050808 unidad.

La circunferencia del círculo = (2 * 22/7) * 1.732050808 = 10.8871765 unidades.

Answer 3

tan30 ° = r / (3/2)

(√3) / 3 = 2r / 3

2r = √3

circunferencia = 2πr = π (2r) = π√3

Answer 4

Atentamente,

Sachin Gupta

(Facultad de matemáticas para IIT-JEE).

Answer 5

* A2A

[matemáticas] \ text {Área del triángulo equilátero} = \ dfrac {\ sqrt {3} a ^ 2} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Área del triángulo ABC} = 3 \ veces \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \ sin 120 [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ dfrac {3} {2} r ^ 2 \ sin 60 = \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} \ veces 3 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {3 \ sqrt {3}} {4} r ^ 2 = \ dfrac {9 \ sqrt {3}} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r ^ 2 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

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[matemáticas] C = 2 \ pi r = 2 \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

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Usando la regla del coseno

[matemáticas] r ^ 2 + r ^ 2–2r ^ 2 \ cos 120 = a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2r ^ 2–2r ^ 2 \ cdot \ left (- \ dfrac {1} {2} \ right) = 3 ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ implica 3r ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = \ dfrac {a} {\ sqrt {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = \ dfrac {3} {\ sqrt {3}} = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 \ pi r = 2 \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica C = 2 \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ text {Área del triángulo equilátero} = \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} a ^ 2 = \ dfrac {1} {2} bh [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} \ veces 3h = \ dfrac {\ sqrt {3}} {4} \ veces 3 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica h = \ dfrac {3 \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Las medianas en un triángulo se cruzan en la proporción [matemática] 2: 1 [/ matemática]

[matemáticas] r = \ dfrac {2} {3} h = \ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 \ sqrt {3}} {2} = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] C = 2 \ pi r = 2 \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

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Accidentalmente trabajé con el círculo en mi respuesta anterior. Arreglando ahora …

[matemáticas] h = 3 \ sin 60 = \ dfrac {3 \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ dfrac {1} {3} h = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] C = 2 \ pi r = \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

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Unir B y C al centro del círculo. Usando fórmula sinusoidal

[matemáticas] \ dfrac {r} {\ sin \ dfrac {B} {2}} = \ dfrac {\ dfrac {a} {2}} {\ sin 60} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {r} {\ sin 30} = \ dfrac {\ dfrac {3} {2}} {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] C = 2 \ pi r = \ sqrt {3} \ pi [/ matemáticas]

Answer 6

triángulo equilátero cuatro centros en un punto

Entonces el r = [matemáticas] \ sqrt [2] {3} / 2 [/ matemáticas]

entonces C = [matemáticas] pi * \ sqrt [2] {3} [/ matemáticas]