¿Hay una manera fácil de saber si se puede construir un ángulo usando una regla y una brújula?

Answer 1

Hola,

si se puede construir o no un ángulo se basa en dos reglas:

1. Un número construible es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros y de grado menor o igual a dos.
2. Se puede construir un ángulo si y solo si se puede construir coseno.

Por lo tanto, un ángulo dado puede construirse solo cuando su coseno es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros y grados menores o iguales a dos.

Por ejemplo,

[matemáticas] 60 ^ \ circ [/ matemáticas] se puede construir porque:

si [matemáticas] \ cos 60 ^ \ circ = x, [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] x = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

así,

[matemáticas] 4x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemáticas]

por lo tanto, por (1) y (2), se pueden construir 60 grados.

También podemos mostrar que no se pueden construir 20 grados:

si [matemáticas] \ cos 20 ^ \ circ = x [/ matemáticas],

entonces,

[matemáticas] 4x ^ 3 – 3x = \ cos 60 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

o,

[matemáticas] 64x ^ 6 – 96x ^ 4 + 36x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemáticas]

poniendo [matemáticas] y = 4x ^ 2 [/ matemáticas],

[matemáticas] y ^ 3 – 6y ^ 2 + 9y – 3 = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que si este polinomio es reducible en factores con coeficientes enteros, debe tener un factor de grado uno. O debe tener una raíz entera, que es un factor de -3. Pero ninguno de los factores son raíces. Por lo tanto, es irreducible, y nuevamente por (1) y (2), 20 grados no es constructible.

Como puede encontrar, esta no es una manera fácil, sino un método mucho más difícil y que consume mucho tiempo. Pero es un método riguroso de prueba.

Pero con toda honestidad, creo que si se encuentran ángulos constructivos, generalmente no serían más que múltiples o fracciones de ángulos constructivos.

espero que lo hayas disfrutado

Por favor refiérase a:

Construcción de brújula y regla – Wikipedia

Número constructivo – Wikipedia

Salud.

Answer 2

Puede construir un ángulo de 90 grados, y puede dividir un ángulo de 90 grados para obtener un ángulo de 45 grados, y puede dividir un ángulo de 45 grados para obtener un ángulo de 22.5 grados, puede continuar dividiendo para obtener mitades, cuartos, octavos y así.

Puede construir un ángulo de 60 grados, puede dividir un ángulo de 60 grados para obtener un ángulo de 30 grados, puede dividir un ángulo de 30 grados para obtener un ángulo de 15 grados, puede dividir un ángulo de 15 grados para obtener un ángulo de 7.5 grados y pronto. Puede sumar y restar ángulos con solo una brújula y un borde recto. Esto significa que cualquier ángulo que sea múltiplo de 15 grados se puede construir con una brújula y un borde recto. Pero aparte de los múltiplos de 15, no puede obtener ángulos exactos de números enteros.

Answer 3

Como han señalado otras respuestas, un curso sobre la teoría de Galois puede mostrar que un n-gon regular es construible si el número de lados es una potencia de 2 veces los Primes de Fermat. Construir un pentágono y 17 gon es bastante interesante.

Esto se traduce en los ángulos base que se pueden calcular. El resto es por adición de ángulo y módulo de bisección 2pi

Answer 4

Los ángulos construibles forman un grupo módulo 2pi radianes, es decir, se pueden sumar y restar.

También se pueden dividir por 2 (porque podemos dividir un ángulo con una brújula y una regla) y, sorprendentemente, por algunos números primos de Fermat (probados por Gauss).

Entonces, los ángulos como 360, 180, 90, 45, & c, y 60, 30, 15, & c son construibles, al igual que 72, 36, 18, 9 & c, y sus sumas y diferencias.

Consulte Construcción de brújula y regla – Wikipedia para obtener más detalles.

Answer 5

Con una regla y una brújula (¡y, por supuesto, un lápiz!) Se pueden construir ángulos como 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135 y 180 grados. Con 60 grados como ángulo básico, uno biseca y construye ángulos.

Answer 6

Sabes cómo construir ángulos de 90 o 60 grados. Con esos como punto de partida:

puede dividir cualquier ángulo entre 2, de modo que obtenga 45, 22.5, 11.25, 5.625 grados, etc .; también 30, 15, 7.5, 3.75 grados, etc.

Puede copiar cualquier ángulo con la brújula y el borde recto, por lo que puede agregar cualquier número en esas series; por ejemplo, 75, 78.75, 26.25 grados, etc.

Entonces, en general, si desea construir un ángulo de un cierto número de grados, puede hacerlo si puede dividirlo en ángulos en esas listas. No puedes construir ángulos con un número irracional de grados; por ejemplo, un radián es (180 / pi) grados y no se puede construir eso.

Answer 7

Se pueden construir ángulos como 30,60,90, 120,150 y 180 grados usando una regla

y brújula [con poco difícil podemos construir 15,45,75,105,135 y 165]