¿Cuál es la tangente a través de (7,1) para el círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 25?

Answer 1

Derivemos una condición general para que [math] y = mx + c [/ math] sea una tangente a [math] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ math]

Esto significa que los dos puntos de intersección de la línea y el círculo deben coincidir. Eso significa que las raíces de [matemáticas] x ^ 2 + (mx + c) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] deben coincidir.

Establecer el discriminante de la expresión cuadrática en cero produce [matemática] c ^ 2 = r ^ 2 (1 + m ^ 2) [/ matemática]

Una belleza de este enfoque es que funciona para todas las secciones cónicas, y podemos obtener condiciones análogas para todas ellas.

Ahora, dejemos que la pendiente de la línea que pasa por [math] (7,1) [/ math] sea [math] m [/ math]. La ecuación de la recta es

[matemática] y-1 = m (x-7) [/ matemática] [Forma punto-pendiente].

aquí, [matemáticas] c = 1–7m [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = r ^ 2 (1 + m ^ 2) \ implica m = \ frac {4} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 1–7m = \ frac {-25} {3} [/ matemáticas]

La ecuación es [matemática] 4x-3y = 25 [/ matemática].

Answer 2

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

=> Un círculo con centro en Origen, llamémosle O (0,0) y radio 5.

El punto (7,1) definitivamente se encuentra fuera de este círculo. Llamemos a este punto X (7,1).

Puede consultar la imagen adjunta para mayor claridad.

Ahora, desde X podemos dibujar dos tangentes a este círculo. Llamemos a los dos puntos, donde las tangentes del punto X (7,1) tocan el círculo en el primer cuadrante y el cuarto cuadrante, A y B, respectivamente.

Sabemos que los ángulos OAX y OBX serán de 90 grados.

OA = OB = 5 unidades, siendo ambos radios de este círculo.

OX = √ (7 ^ 2 + 1 ^ 2) = √50

Deje que las coordenadas de A sean (x, y)

AX = √ {(y-1) ^ 2 + (x-7) ^ 2}

=> AX ^ 2 = (y-1) ^ 2 + (x-7) ^ 2

Aplicando Pitágoras en el triángulo OAX

OA ^ 2 + AX ​​^ 2 = OX ^ 2

=> 5 ^ 2 + (y-1) ^ 2 + (x-7) ^ 2 = (√50) ^ 2

=> 25 + y ^ 2 + 1 -2y + x ^ 2 + 49-14x = 50

=> x ^ 2 – 14x + y ^ 2 -2y + 25 = 0

Sustituya y ^ 2 = 25 – x ^ 2, porque el punto también se encuentra en el círculo x ^ 2 + y ^ 2 = 25

=> x ^ 2 – 14x + (25-x ^ 2) -2√ (25-x ^ 2) + 25 = 0

=> -2√ (25-x ^ 2) = 14x -50

=> √ (25-x ^ 2) = -7x +25

=> 25-x ^ 2 = 625 + 49x ^ 2 – 350x

=> 50x ^ 2 – 350x + 600 = 0

=> x ^ 2 -7x +12 = 0

=> x ^ 2 -4x -3x + 12 = 0

=> x (x-4) -3 (x-4) = 0

=> (x-3) (x-4) = 0

=> x = 3 o x = 4

Sabemos que x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Entonces,

Si x = 3 => y = 4 o y = -4

y si x = 4 => y = 3 o y = -3

De la foto está claro que

Para x = 3, y = 4

Y para x = 4, y = -3.

Por lo tanto, tenemos A como (3,4) y B como (4, -3)

Ahora, la parte fácil

Encontrar la ecuación de las dos tangentes AX y BX cuando ya conocemos las coordenadas para X, A y B.

Eqn de AX: 3x + 4y-25 = 0

Y la ecuación de BX: 4x-3y-25 = 0

PD: Disculpas por no poder etiquetar la foto. Espero que la solución aún esté clara.

Answer 3

Puedes usar los conceptos de par de tangente. S s1 = t ^ 2

O puede ahogar una línea y = mx + c desde el punto dado. Entonces puedes hacer una distancia perbdicular desde el centro del crículo hasta la línea = radio.

Answer 4

Answer 5

SS1 = T ^ 2

donde “s” es la ecuación estándar de círculo y “s1” es el punto satisfecho en la ecuación y “T” es la ecuación xx1 + yy1–25 = 0