Cómo demostrar que la ecuación de las líneas que bisecan los ángulos entre la bisectriz de un par de líneas [matemáticas] ax ^ 2 + 2hxy + por ^ 2 = 0 [/ matemáticas] es [matemáticas] (ab) (x ^ 2-y ^ 2) + 4hxy = 0 [/ matemáticas]

Al conectar [math] y = mx [/ math] en la ecuación dada obtenemos

[matemática] bm ^ 2 + 2hm + a = 0 [/ matemática] que da los valores [matemática] 2 [/ matemática] de [matemática] m [/ matemática], a saber. [matemáticas] m_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] m_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] m_1 + m_2 = \ dfrac {-2h} by m_1m_2 = \ dfrac ab [/ matemáticas]

Las ecuaciones de las dos líneas son [matemáticas] y-m_1 x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y-m_2 x = 0 [/ matemáticas]

Si [math] (x, y) [/ math] es un punto en la bisectriz, su distancia perpendicular a las dos líneas debe ser la misma.

[matemáticas] \ left | \ dfrac {y-m_1 x} {\ sqrt {1 + m_1 ^ 2}} \ right | = \ left | \ dfrac {y-m_2 x} {\ sqrt {1 + m_2 ^ 2} } \ right | [/ math]

Cuadratura y multiplicación cruzada

[matemáticas] (1 + m_2 ^ 2) (y ^ 2–2m_1 xy + m_1 ^ 2 x ^ 2) = (1 + m_1 ^ 2) (y ^ 2–2m_2 xy + m_2 ^ 2 x ^ 2) [/ matemáticas]

Simplificando

[matemáticas] (m_1 + m_2) (y ^ 2-x ^ 2) + (1-m_1m_2) xy = 0 [/ matemáticas]

Valores de conexión de [math] m_1 + m_2 [/ math] y [math] m_1m_2 [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {-2h} b (y ^ 2-x ^ 2) + (1- \ dfrac ab) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {2h (x ^ 2-y ^ 2) + (ba) xy = 0} [/ matemáticas]

Esta es solo la ecuación de las bisectrices y tenemos que encontrar la ecuación de las bisectrices de las bisectrices.

[matemáticas] 2h (x ^ 2-y ^ 2) + (ba) xy = 0 \ equiv Ax ^ 2 + 2Hxy + Por ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] A = 2h [/ matemáticas]; [matemáticas] B = -2h [/ matemáticas] y [matemáticas] 2H = ba [/ matemáticas]

La ecuación de las bisectrices de las bisectrices es

[matemáticas] 2H (x ^ 2-y ^ 2) + (BA) xy = 0 [/ matemáticas] o

[matemáticas] (ba) (x ^ 2-y ^ 2) + (- 2h-2h) xy = 0 [/ matemáticas] o

[matemáticas] \ boxed {\ boxed {(ab) (x ^ 2-y ^ 2) + 4hxy = 0}} [/ math]

¿Cuáles son las propiedades de un cuadrilátero cíclico con imágenes?

¿Qué es el ‘paraboloide hiperbólico’?

¿Cuál es el proceso paso a paso para resolver esta pregunta de geometría vectorial en la que debes demostrar que el triángulo GHI es 1/7 del área del triángulo ABC?

Si un círculo toca el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo y pasa por el punto medio del lado más corto (b> a), ¿cuál es su radio?

¿Cuál es la medida del ángulo más pequeño (en grados) entre las diagonales AC y BD?

¿Cómo es estudiar en la Universidad Brown como estudiante internacional?

No estoy seguro de si la pregunta debe tener las palabras “bisectriz de”. La pregunta es un poco confusa. La ecuación cuadrática homogénea representa un par de líneas a través del origen (siempre que [math] h ^ 2 \ ge ab [/ math]). Los ángulos entre estas líneas tienen bisectrices y son ortogonales. La pregunta parece pedir la ecuación de las líneas que bisecan los ángulos entre estas bisectrices. O tal vez la pregunta pide la ecuación de las bisectrices originales.

En otras palabras, ¿quieres la ecuación de las bisectrices, o las bisectrices de las bisectrices? Sin embargo, si se resuelve el primero, el segundo es solo una repetición del primero.

La solución más simple parece ser elegir un nuevo sistema de coordenadas en el que el problema se vuelva fácil. Luego invierta la transformación de coordenadas.

Rotemos las coordenadas para que la figura sea simétrica respecto de los nuevos ejes de coordenadas, [matemática] X [/ matemática] y [matemática] Y [/ matemática]. Entonces las bisectrices se convierten en los ejes [matemática] X [/ matemática] e [matemática] Y [/ matemática] y las líneas originales tienen la ecuación [matemática] Y = \ pm kX [/ matemática], es decir [matemática] (Y – kX ) (Y + kX) = 0 [/ matemática] o [matemática] Y ^ 2 – k ^ 2X ^ 2 = 0 [/ matemática]. Necesitamos encontrar el ángulo de rotación y [matemáticas] k [/ matemáticas]. Con estos ejes, el término de producto cruzado desaparece.

Gire los ejes en sentido horario en un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática], [matemática] X = x \ cos \ theta – y \ sin \ theta [/ matemática], [matemática] Y = x \ sin \ theta + y \ cos \ theta [/ math]. La transformación inversa es [matemática] x = X \ cos \ theta + Y \ sin \ theta [/ matemática], [matemática] y = -X \ sin \ theta + Y \ cos \ theta [/ matemática].

La ecuación cuadrática de las líneas se convierte en [matemáticas] a (X \ cos \ theta + Y \ sin \ theta) ^ 2 + 2h (X \ cos \ theta + Y \ sin \ theta) (- X \ sin \ theta + Y \ cos \ theta) + b (-X \ sin \ theta + Y \ cos \ theta) ^ 2 = 0 [/ math].

El término de producto cruzado desaparece si [math] (ab) \ sin 2 \ theta + 2h \ cos 2 \ theta = 0 [/ math], es decir, [math] \ tan 2 \ theta = – \ frac {2h} {ab} [/ math] o [math] (ab) \ sin 2 \ theta = -2h \ cos 2 \ theta [/ math] (evitando un problema si [math] a = b [/ math]).

Las bisectrices ahora tienen ecuaciones [matemática] X = 0 [/ matemática] y [matemática] Y = 0 [/ matemática], es decir, el par satisface [matemática] XY = 0 [/ matemática]. Solo queda revertir esta transformación.

Es decir ([matemáticas] x \ cos \ theta – y \ sin \ theta) (x \ sin \ theta + y \ cos \ theta) = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] (x ^ 2 – y ^ 2) \ sin 2 \ theta + 2xy \ cos 2 \ theta = 0 [/ matemática], es decir, [matemática] h [/ matemática] [matemática] (x ^ 2-y ^ 2) – (ab) xy = 0 [/ matemática ]

Como encontró Dean Rubine, esto no es exactamente lo mismo que en la pregunta.

Sin embargo, si la pregunta es sobre las bisectrices de los ángulos entre estas líneas, necesitamos rotar un par de líneas de [45] [/ matemáticas] grados. Alternativamente, haga uso de lo que ya encontramos. Tenemos un par de líneas dadas por [matemáticas] hx ^ 2 – 2 \ frac {ab} {2} xy – hy ^ 2 = 0 [/ matemáticas] y luego reinterpretamos los coeficientes originales, las bisectrices de los ángulos entre estas líneas tiene la ecuación [matemáticas] \ frac {ab} {2} (x ^ 2 – y ^ 2) + 2hxy = 0 [/ matemáticas].

Esto coincide con la ecuación dada en la pregunta.

Bob Eckert

No lo hace, porque las ecuaciones que está dando son de grado 2 y no pueden ser las ecuaciones de ninguna línea.

Newson Ghimire

EDITAR: Terry Moore dice correctamente que mi respuesta original “parece un trabajo duro”. Ahora que sé lo que estoy haciendo, voy a tratar de que encaje en una página.

[matemática] por ^ 2 + 2hx y + ax ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] x ^ 2 \ left (\ dfrac {y ^ 2} {x ^ 2} + \ dfrac {2h} {b} \ dfrac {y} {x} + \ dfrac ab \ right) = 0 [/ math ]

Esta es una ecuación cuadrática en la pendiente, [matemáticas] y / x, [/ matemáticas] y las dos soluciones representan las pendientes de un par de líneas a través del origen. Llamemos a las pendientes [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n. [/ Matemáticas] De la ecuación cuadrática obtenemos

[matemáticas] m + n = – \ dfrac {2h} {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] mn = \ dfrac ab [/ matemáticas]

Las pendientes son tangentes. Digamos que [math] m = \ tan M [/ math] y [math] n = \ tan N. [/ Math] La propiedad de una bisectriz cuyo ángulo es [math] R [/ math] es que [math] MR = RN. [/ Math] Eso significa [math] \ tan (MR) = \ tan (RN). [/ Math] Sea [math] r = \ tan R. [/ Math]

[matemática] \ tan (MR) = \ dfrac {\ tan M – \ tan R} {1 + \ tan M \ tan R} = \ dfrac {m – r} {1 + mr} [/ matemática]

Del mismo modo, [matemáticas] \ tan (RN) = \ dfrac {r – n} {1 + nr}. [/ Matemáticas] Equivalente,

[matemáticas] (rn) (1 + mr) = (mr) (1 + nr) [/ math]

[matemáticas] r – n + mr ^ 2 – mnr = mr + mnr – nr ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (m + n) r ^ 2 + 2 (1- mn) r – (m + n) = 0 [/ matemáticas]

Esa es la ecuación para la pendiente de la bisectriz en términos de la suma y el producto de las pendientes originales. Los conocemos.

[matemáticas] – \ dfrac {2h} {b} r ^ 2 + 2 \ left (1- \ dfrac ab \ right) r + \ dfrac {2h} {b} = 0 [/ math]

[matemáticas] hr ^ 2 + (ab) r – h = 0 [/ matemáticas]

Esa es la ecuación para la pendiente de las bisectrices. Volvamos a la cónica para dos líneas que serán las bisectrices de los ángulos formados por las dos líneas originales. Establecemos [math] r = y / x [/ math] y multiplicamos por [math] x ^ 2. [/ Math]

[matemáticas] hy ^ 2 + (ab) xy – hx ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Corto y dulce. Vea a continuación algunos controles.

POSTCRIPCIÓN: Terry Moore señala correctamente la pregunta que se hace para las bisectrices de las bisectrices. Entonces podemos aplicar la respuesta a sí misma. Cebemos las variables para mantenerlas rectas y comenzar desde

[matemáticas] b’y ^ 2 + 2h’xy + a’x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Tenemos [matemática] a ‘= -h [/ matemática] y [matemática] b’ = h [/ matemática] y [matemática] h ‘= (ab) / 2. [/ Matemática] Entonces la bisectriz de la bisectriz es

[matemáticas] \ dfrac {ab} {2} y ^ 2 + (-h – h) xy – \ dfrac {ab} {2} x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ab) (x ^ 2-y ^ 2) + 4hxy = 0 [/ matemáticas]

Ahora la respuesta está de acuerdo con los OP y se restablece la armonía.

RESPUESTA ORIGINAL:

Esta es una pregunta asombrosa. He tenido la intención de hacerlo por un tiempo.

[matemática] por ^ 2 + 2hx y + ax ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] y = \ frac 1 b (-hx \ pm \ sqrt {h ^ 2 x ^ 2 – ab x ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {-h \ pm \ sqrt {h ^ 2 -ab}} {b} x [/ matemáticas]

Entonces tenemos dos líneas a través del origen, una con pendiente

[matemáticas] m = \ frac 1 b (-h + \ sqrt {h ^ 2-ab}) [/ matemáticas]

y el otro con pendiente

[matemáticas] n = \ frac 1 b (-h – \ sqrt {h ^ 2-ab}) [/ matemáticas]

He dado algunos golpes en esto, pero aún no lo he conseguido. Las pendientes son tangentes, por lo que el problema de trigonometría al que nos enfrentamos se da [math] m = \ tan M, [/ math] [math] n = \ tan N, [/ math] cuál es [math] t = \ tan (( M + N) / 2). [/ Math] Parece factible.

[matemáticas] p = \ tan (M + N) = \ dfrac {\ tan M + \ tan N} {1 – \ tan M \ tan N} = \ dfrac {m + n} {1 – mn} [/ matemáticas ]

Ahora necesitamos la fórmula de medio ángulo para la tangente. Usualmente lo ves expresado en términos de coseno. Vamos a resolverlo

[matemática] p = \ tan (2z). [/ matemática] [matemática] t = \ tan z. [/ matemática] Por la fórmula del ángulo de suma,

[matemáticas] p = \ dfrac {2t} {1 – t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] pt ^ 2 + 2t – p = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {-1 \ pm \ sqrt {1 + p ^ 2}} {p} [/ matemáticas]

Esa es la fórmula de medio ángulo para la tangente. Las dos raíces deben ser ambas bisectrices. Demostremos que son perpendiculares.

Deje [math] u = -1 / t. [/ Math] Entonces,

[matemáticas] pu ^ 2 -2u + p = p (-1 / t) ^ 2 + 2 (-1 / t) + p = p -2 / t + p / t ^ 2 = (pt ^ 2-2t + p) / t ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, si [math] t [/ math] es un cero [math] u = -1 / t [/ math] también lo es. Las dos raíces son pendientes perpendiculares.

Ahora necesitamos sustituir nuestra expresión por [matemáticas] p [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] t [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n. [/ Matemáticas] Hagámoslo en pasos

[matemáticas] 1 + p ^ 2 = 1 + \ dfrac {(m + n) ^ 2} {(1-mn) ^ 2} = \ dfrac {1 – 2mn + m ^ 2n ^ 2 + m ^ 2 + 2mn + n ^ 2} {(1-mn) ^ 2} = \ dfrac {(1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)} {(1-mn) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] -1 \ pm \ sqrt {1 + p ^ 2} = \ dfrac {mn – 1 \ pm \ sqrt {(1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)}} {1-mn} [ /matemáticas]

[matemáticas] t = \ dfrac {1} {p} (-1 \ pm \ sqrt {1 + p ^ 2}) = \ dfrac {mn – 1 \ pm \ sqrt {(1 + m ^ 2) (1+ n ^ 2)}} {m + n} [/ matemáticas]

Bueno, es una solución. Puede ser correcto Dadas las pendientes de dos líneas, encontramos las pendientes de las bisectrices.

Para resolver el problema, tenemos que conectar nuestras [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n. [/ Matemáticas] Para postergar esa tarea, que parece difícil, veamos si podemos obtener las dos líneas a través del origen con las pendientes de arriba como una ecuación cónica.

Dos líneas a través del origen son

[matemáticas] (y – ux) (y – vx) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] y ^ 2 – (u + v) xy + uv x ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (\ frac yx) ^ 2 – (u + v) \ frac yx + uv = 0 [/ matemáticas]

Tenemos

[matemáticas] t = \ dfrac {mn – 1 \ pm \ sqrt {(1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)}} {m + n} [/ matemáticas]

Obviamente es la raíz de una ecuación cuadrática. Está claro que la suma de las raíces es

[matemáticas] t_ + + t_- = \ dfrac {2 (mn – 1)} {m + n} [/ matemáticas]

El producto de las raíces es

[matemáticas] t_ + t_- = \ dfrac {(mn – 1) + \ sqrt {(1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)}} {m + n} \ cdot \ dfrac {(mn – 1 ) – \ sqrt {(1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)}} {m + n} [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {(mn – 1) ^ 2 – (1 + m ^ 2) (1 + n ^ 2)} {(m + n) ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ dfrac { m ^ 2n ^ 2 – 2mn + 1 -1 – m ^ 2 -n ^ 2 -m ^ 2n ^ 2} {(m + n) ^ 2} [/ math] [math] = \ dfrac {- (m + n) ^ 2} {(m + n) ^ 2} = -1 [/ matemáticas]

Duh Nuevamente probamos que las dos bisectrices son perpendiculares.

Eso hace la ecuación para las bisectrices

[matemáticas] y ^ 2 + \ dfrac {2 (1 – mn)} {m + n} xy – x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (m + n) y ^ 2 + {2 (1 – mn)} xy – (m + n) x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Eso funcionó bien porque en lugar de las raíces de la ecuación cuadrática solo necesitamos su suma y producto. Tiene que ser el caso que la respuesta se construya a partir de funciones simétricas de [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] porque son intercambiables.

[matemática] por ^ 2 + 2hx y + ax ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (\ frac yx) ^ 2 + \ frac {2h} {b} \ frac yx + \ frac ab = 0 [/ matemáticas]

Entonces, la suma de las raíces [matemáticas] m + n = – \ frac {2h} {b} [/ matemáticas] y el producto [matemáticas] mn = \ frac ab [/ matemáticas]

Sustituyendo en la ecuación las bisectrices

[matemáticas] (m + n) y ^ 2 + {2 (1 – mn)} xy – (m + n) x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] {- \ frac {2h} {b}} y ^ 2 + {2 (1 – \ frac ab)} xy – {- \ frac {2h} {b}} x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Multiplicar por [math] -b: [/ math]

[matemáticas] hy ^ 2 + (ab) xy -hx ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] h (y ^ 2-x ^ 2) + (ab) xy = 0 [/ matemáticas]

La pregunta nos dio una solución propuesta de

[matemáticas] (ab) (x ^ 2-y ^ 2) + 4hxy = 0 [/ matemáticas]

lo cual no es lo mismo, aunque tiene un poco de forma.

Cheque. Probemos las pendientes [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1/2, [/ matemáticas] deben tener bisectrices de pendientes [matemáticas] \ pm 1. [/ Matemáticas]

[matemáticas] (y-2x) (y – \ frac 1 2 x) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 – \ frac 5 2 xy + x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 y ^ 2 – 10 xy + 4 x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] ax ^ 2 + 2hxy + por ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] a = 4. [/ matemática] [matemática] b = 4. [/ matemática] [matemática] h = -5. [/ matemática]

OKAY. Ese es nuestro piont inicial.

[matemáticas] hy ^ 2 + (ab) xy -hx ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -5 y ^ 2 + 5 x ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ pm x \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Probemos la respuesta del OP:

[matemáticas] (ab) (x ^ 2-y ^ 2) + 4hxy = 0 [/ matemáticas]