Cómo encontrar el vértice y el eje de simetría de la ecuación de la parábola [matemáticas] f (x) = x ^ 2-8x + 9 [/ matemáticas]

Answer 1

La forma básica de una función cuadrática es [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática]

Tenemos la función cuadrática [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 8x + 9 [/ matemáticas]; donde [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = -8 [/ matemática] y [matemática] c = 9 [/ matemática]

Para descubrir el eje de simetría de una parábola, use la fórmula [matemáticas] x = -b / 2a [/ matemáticas]

Por lo tanto, el eje de simetría de la parábola [matemáticas] f (x) = x ^ 2 – 8x + 9 [/ matemáticas] es:

[matemáticas] x = -b / 2a [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – (- 8) / (2 * 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 8/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

El vértice de una parábola es la coordenada [matemática] ([/ matemática] [matemática] x, y) [/ matemática] donde [matemática] x [/ matemática] es el valor del eje de simetría y [matemática] y [/ matemática ] es el punto de inflexión de la parábola.

Hay dos formas de descubrir el valor del vértice de una parábola [matemática] y [/ matemática].

• Sustituya [math] x [/ math] con el valor del eje de simetría.

[matemáticas] y = x ^ 2 – 8x + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 4 ^ 2 – 8 (4) + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 16 – 32 + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -7 [/ matemáticas]

• Use la fórmula [matemáticas] y [/ matemáticas] [matemáticas] = D / -4a [/ matemáticas]; donde [matemática] D [/ matemática] significa ‘discriminante’, [matemática] D = b ^ 2 – 4ac [/ matemática]

[matemáticas] D = b ^ 2 – 4ac [/ matemáticas]

[matemáticas] D = (-8) ^ 2 – 4 * 1 * 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = 64 – 36 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = 28 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el valor del vértice de la parábola [math] y [/ math] dado es:

[matemáticas] y = D / -4a [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 28 / (- 4 * 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 28 / -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -7 [/ matemáticas]

En conclusión, la parábola [matemática] f (x) = x ^ 2 – 8x + 9 [/ matemática] eje de simetría es la línea [matemática] x = 4 [/ matemática] y el vértice de la parábola es el punto [matemática] (4, -7) [/ matemáticas].

Answer 2

Las parábolas pertenecen a un grupo de curvas conocidas como secciones cónicas, llamadas así porque todas se pueden encontrar en una sección transversal de un cono ingeniosamente cortada:

Una parábola, en el contexto de secciones cónicas, se define como una curva en la que todos los puntos son equidistantes de algún punto fijo fuera de la curva (el foco ) y el punto más cercano en alguna línea fija perpendicular al eje de simetría de la curva (el directriz ).

Esta es una definición prolija, así que aquí hay una buena imagen para aclarar un poco las cosas:

La ecuación puede modelar una parábola orientada verticalmente (apertura paralela al eje y)

[matemáticas] (xh) ^ 2 = 4p (yk) [/ matemáticas],

tal que:

• el vértice de la parábola se encuentra en (h, k)
• el foco en (h, k + p)
• la directriz es [matemáticas] y = kp [/ matemáticas]
• y el eje de simetría está en [matemáticas] x = h [/ matemáticas].

Un buen primer paso es reorganizar la ecuación proporcionada hasta que coincida con la forma general anterior.

Configuremos f (x) = y para simplificar las cosas:
[matemáticas] y = x ^ 2-8x + 9 [/ matemáticas]

Factorizar esta ecuación así no producirá la forma [math] (xh) ^ 2 [/ math] que nos gustaría. Para hacer eso, debemos usar un truco conocido como completar el cuadrado . Dice así:

Primero, reste la constante de ambos lados:

[matemáticas] y-9 = x ^ 2-8x [/ matemáticas]

Ahora, debemos agregar un número a ambos lados para que la expresión de la derecha pueda factorizar en un cuadrado perfecto. La mejor manera de hacerlo es agregar [math] b ^ 2/4 [/ math], donde b es -8 en -8x. [matemática] (- 8) [/ matemática] [matemática] ^ 2/4 = 64/4 = 16 [/ matemática], así que agregaremos esa 16.

[matemática] y-9 + 16 = x ^ 2-8x + 16 \ Leftrightarrow y + 5 = x ^ 2-8x + 16 [/ matemática]

Ahora podemos factorizar la expresión de la mano derecha en un cuadrado perfecto:

[matemáticas] y + 5 = (x-4) ^ 2 \ Flecha izquierda (x-4) ^ 2 = y + 5 [/ matemáticas]

que coincide con la forma que necesitamos.

A partir de aquí, podemos concluir que dado que 4 = h y -5 = k, el vértice se encuentra en

[matemáticas] (4, -5) [/ matemáticas]

Como el eje de simetría atraviesa el vértice de la parábola, se puede definir como la línea

[matemáticas] x = 4. [/ matemáticas]

Answer 3

El enfoque que me gustaría compartir con nosotros puede considerarse general, y se usa para reducir una ecuación dada de una curva a su forma estándar al cambiar el origen. Y dado que conoceríamos las propiedades de la curva estándar (como las coordenadas de su vértice, foco, ecuación de su directriz, etc.), volveríamos a trabajar para obtener las propiedades de la curva dada.

La ecuación estándar de la parábola, en forma de vértice, es [matemáticas] x ^ 2 = 4by [/ matemáticas]. Esta parábola es simétrica acerca del eje [matemático] y [/ matemático], es decir, la línea [matemática] x = 0 [/ matemático].

Para reducir la parábola dada a la forma estándar, el origen debe desplazarse a un punto [matemática] (h, k) [/ matemática]. Entonces la nueva ecuación de la parábola [matemática] y = x ^ 2–8x + 9 [/ matemática] se convertirá en [matemática] X ^ 2 = 4bY, [/ matemática] donde

[matemáticas] \ displaystyle x = X + h, y = Y + k \\ [/ matemáticas]

Nuestro primer objetivo es determinar [matemáticas] h [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas]. Sustituyendo [math] x [/ math] y [math] y [/ math] en la ecuación dada,

[matemáticas] \ displaystyle Y + k = (X + h) ^ 2–8 (X + h) +9 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle (X ^ 2 + 2Xh + h ^ 2) -8X-8h + 9 \\ [/ matemáticas]

[matemática] = \ displaystyle X ^ 2 + [/ matemática] X [matemática] (2h-8) + (h ^ 2–8h + 9) \\ [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle X ^ 2 + X (2h-8) = Y + [k- (h ^ 2–8h + 9)] \\ [/ matemáticas]

Para garantizar que lo anterior, la última ecuación sea de la forma [matemática] X ^ 2 = 4bY [/ matemática], debemos tener

[matemáticas] \ displaystyle 2h – 8 = 0, es decir, h = 4 [/ matemáticas], y

[matemáticas] \ displaystyle k – (h ^ 2–8h + 9) = 0 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] k – (4 ^ 2–8 \ veces4 + 9) = 0 [/ matemáticas], de donde [matemáticas ] k = -7 [/ matemáticas] [matemáticas]. \\ [/ matemáticas]

Por lo tanto, las ecuaciones de traducción son:

[matemáticas] \ displaystyle x = X + 4, y = Y – 7. \\ [/ matemáticas]

Por lo tanto, el origen debe desplazarse al punto [matemáticas] (4, -7) [/ matemáticas] y la ecuación dada se reduce a [matemáticas] X ^ 2 = Y [/ matemáticas] (es decir, [matemáticas] 4b = 1 [/ / matemática] o [matemática] b = \ frac {1} {4} [/ matemática]). El vértice de esta parábola es el origen desplazado [matemática] (X, Y) = ([/ matemática] [matemática] 0,0) [/ matemática], que se traduce en el punto [matemática] (4, -7) [ / math] con respecto a los ejes originales. Por lo tanto, el punto [matemáticas] (4, -7) [/ matemáticas] es el vértice de la parábola dada. Claramente, la parábola es simétrica con respecto al nuevo eje [matemático] Y [/ matemático] dado por la línea [matemática] X = 0 [/ matemático], es decir, [matemático] x [/ matemático] [matemático] – 4 = 0 [ / math], es decir, la línea [math] x = 4 [/ math] paralela al eje [math] y [/ math] original.

Answer 4

Una forma diferente de las respuestas es esta:

Encuentre la derivada de [math] f (x) [/ math] que es [math] f ‘(x) [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = 2x – 8 [/ matemáticas]

En el punto de inflexión, o vértice, [matemática] f ‘(x) = 0 [/ matemática]

Por lo tanto [matemáticas] 2x – 8 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

Esta es la coordenada x del vértice y también la simetría

Para la coordenada y, simplemente inserte este valor en [math] f (x) [/ math]

[matemáticas] f (x) = (4) ^ 2 – 8 (4) + 9 = – 7 [/ matemáticas]

Vértice [matemáticas] (4, -7) [/ matemáticas]

Answer 5

Podrías reescribir la función en forma de vértice.

[matemáticas] f (x) = x ^ 2-8x + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2-8x + 16) + 9-16 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x-4) ^ 2-7 [/ matemáticas]

Entonces el vértice es [matemática] V (4, -7) [/ matemática] y el eje de simetría es [matemática] x = 4 [/ matemática]

Answer 6

Para una parábola estándar [matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] :

Eje de simetría: [matemáticas] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemáticas]

Vértice: [matemática] \ left (- \ dfrac {b} {2a}, f \ left (- \ dfrac {b} {2a} \ right) \ right) [/ math]

Para la parábola [matemáticas] f (x) = x ^ 2-8x + 9 [/ matemáticas] :

Eje de simetría: [math] x = – \ dfrac {-8} {2 (1)} [/ math]

[matemáticas] \ quad x = 4 [/ matemáticas]

Vértice: [matemática] \ izquierda (4, f \ izquierda (4 \ derecha) \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] \ quad = \ left (4,4 ^ 2-8 (4) +9 \ right) [/ math]

[matemáticas] \ quad = \ izquierda (4,16-32 + 9 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad = \ left (4, -7 \ right) [/ math]

Answer 7

[matemáticas] x ^ 2-8x + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

Para encontrar el eje de simetría:

[matemáticas] x = \ dfrac {-b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {- (- 8)} {2 \ cdot 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ dfrac {8} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

Enchufe 4 en la ecuación:

[matemáticas] y = 4 ^ 2-8 (4) +9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 16-32 + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -16 + 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = -7 [/ matemáticas]

Entonces el vértice es [matemáticas] (4, -7) [/ matemáticas]

Answer 8

El vértice y el eje de simetría siempre están en [matemática] x = -b / 2a [/ matemática] o aquí [matemática] x = 4. [/ Matemática]

Eso es porque al completar el cuadrado vemos

[matemáticas] f (x) = (x-4) ^ 2 – 7 [/ matemáticas]

Entonces el vértice es [matemático] (4, -7) [/ matemático] y el eje de simetría es [matemático] x = 4. [/ Matemático]

Answer 9

Entonces vértice (4, -7) y eje de simetría, x = 4

Answer 10

Esto es fácil, encuentre el conjunto de derivadas igual a cero, en este caso, 2x-8 = 0 o X = 4 e y = 16–32 + 9 = -7. El eje de simetría atraviesa el vértice. X = 4.

Answer 11

f (x) ≡ (x-4) ²-16 + 9

Eje de simetría: x = 4

Vértice = (4, -7)

Answer 12

El eje de simetría se encuentra usando la fórmula x = -b / 2a. En este caso, b es -8 y a es 1, y su eje de simetría viene dado por x = -8. Para encontrar el vértice, simplemente conecte ese valor de x en su función y calcule el valor de la función.

Answer 13

Para preguntas simples como esta, deberías mirar wikipedia

Parábola – Wikipedia

Al completar el cuadrado.

f (x) = (x-4) ^ 2 -5 = x ^ 2 -8x +9

puede encontrar el eje de simetría que también es el mínimo para un coeficiente positivo x ^ 2.

X = 4 este es el eje de simetría

El vértice es el valor de la función en x = 4

Es decir (4, -5)

Answer 14

Parábola: conjunto de puntos equidistantes del foco y la directriz. Expresado como

(x – h) ^ 2 = 4p (y – k)

El vértice está en (h, k)

Eje de simetría la recta x = h

f (x) = x ^ 2 – 8x + 9,

2b = 8, => b = 4

x ^ 2 – 8x + 4 ^ 2 – 4 ^ 2 +9 = y

(x-4) ^ 2 = (y + 7)

=> h = 4, k = -7, 4p = 1

Vértice está en (4, -7),

La línea x = 4 es el eje de simetría.

Answer 15

Tienes una ecuación y = x ^ 2 – 8 * x + 9.

Para encontrar el vértice, simplemente diferencie:

dy / dx = 2 * x – 8.

Al establecer la derivada igual a cero, tienes x = 4 como eje de simetría.

El vértice es el punto correspondiente, x = 4; y = f (4) = 16–32 + 9 = -7.

Si no desea diferenciar, lo que debe hacer es completar el cuadrado:

y = x ^ 2 – 8 * x + (8/2) * -7

y = (x-4) ^ 2 – 7.

Los 4 y -7 aquí le dan los resultados deseados.