¿Qué son exactamente los planos (en geometría)?

La respuesta a esta pregunta depende un poco de lo familiar que esté con las matemáticas.

Si está familiarizado con Álgebra lineal, aquí va una definición:

En los espacios euclidianos de dimensión mayor que 3, un plano es una superficie de dimensión 2 que está definida por un punto y el campo vectorial definido por 2 vectores linealmente independientes. En el espacio euclidiano de dimensión 2, el plano es todo el espacio porque solo hay un conjunto de dos vectores linealmente independientes. (Independencia lineal: Wikipedia puede leer aquí sobre qué es la independencia lineal para tratar de comprender la definición que le di).

También hay planos proyectivos que son un poco diferentes, pero puedes buscarlo si realmente te interesa.

Si su conocimiento de las Matemáticas aún no es suficiente para entender esto, puede pensar en un avión como una especie de hoja de papel que se expande infinitamente en todas las direcciones. La única diferencia es que, como se dijo en otra respuesta, la hoja de papel no tiene grosor 0 y un avión sí.

Esto está más en línea con un comentario.

Las respuestas son correctas, pero quiero que el interlocutor haga lo siguiente: Configure su trípode de cámara.

Abre tus ojos … y el ojo de tu mente.

¿Puedes ver que el trípode es estable, sin importar en qué se pare cada una de las patas? Eso es porque las piernas siempre definen un plano. Ahora … el ojo de tu mente: ese plano se extiende para siempre y, como dispositivo matemático, es de espesor cero.

Ahora … quita una pierna … ahora el duo-quad (lo llamaremos …) establece una línea.

Ahora … agregue una pata … ahora el quadro-pod no puede ser estable … no definirá un plano; una pierna siempre estará “fuera del avión” de las otras.

(sigue … usa el ojo de tu mente … cuatro puntos definen una estructura tridimensional, dos puntos definen una línea … tres puntos definen un plano.

En la geometría de coordenadas tridimensionales, es decir, ejes x, y y z a 90 grados entre sí, un plano está formado por los puntos que son las soluciones a cualquier ecuación de la forma:

[matemática] ax + por + cz + d = 0 [/ matemática]

Una superficie de espesor cero que pasa por tres puntos en el espacio.