La respuesta a esta pregunta depende un poco de lo familiar que esté con las matemáticas.
Si está familiarizado con Álgebra lineal, aquí va una definición:
En los espacios euclidianos de dimensión mayor que 3, un plano es una superficie de dimensión 2 que está definida por un punto y el campo vectorial definido por 2 vectores linealmente independientes. En el espacio euclidiano de dimensión 2, el plano es todo el espacio porque solo hay un conjunto de dos vectores linealmente independientes. (Independencia lineal: Wikipedia puede leer aquí sobre qué es la independencia lineal para tratar de comprender la definición que le di).
También hay planos proyectivos que son un poco diferentes, pero puedes buscarlo si realmente te interesa.
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Si su conocimiento de las Matemáticas aún no es suficiente para entender esto, puede pensar en un avión como una especie de hoja de papel que se expande infinitamente en todas las direcciones. La única diferencia es que, como se dijo en otra respuesta, la hoja de papel no tiene grosor 0 y un avión sí.