A2A
Para responder a esta pregunta, debemos maximizar el radio de un círculo centrado en el origen y contenido en un área delimitada por [matemáticas] y = x ^ 2 + x-2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 3x + 1 [ /matemáticas]. En otras palabras, debemos encontrar los puntos en [matemática] y = x ^ 2 + x-2 [/ matemática] y [matemática] y = 3x + 1 [/ matemática] que están más cerca del origen, como cualquier círculo con un radio mayor saldrá fuera de esta área.
Tengamos
[matemáticas] f (x) = x ^ 2 + x-2 [/ matemáticas]
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[matemáticas] g (x) = 3x + 1 [/ matemáticas]
Y nombre, respectivamente [math] d_f (x) [/ math] y [math] d_g (x) [/ math] las distancias desde los puntos [math] (x, f (x)) [/ math] y [math ] (x, g (x)) [/ math] al origen [math] (0,0) [/ math]
Tenemos
[matemáticas] d_f (x) = \ sqrt {(x ^ 2 + x-2) ^ 2 + x ^ 2} = \ sqrt {x ^ 4 + 2x ^ 3-2x ^ 2-4x-4} [/ matemáticas ]
[matemáticas] d_g (x) = \ sqrt {(3x + 1) ^ 2 + x ^ 2} = \ sqrt {10x ^ 2 + 6x + 1} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] d_f (x) \ gt 0 [/ math] y [math] d_g (x) \ gt 0 [/ math] so [math] d_f (x) [/ math] (respectivamente [math] d_g ( x) [/ math]) es mínimo cuando [math] ([/ math] [math] d_f (x)) ^ 2 [/ math] (respectivamente [math] ([/ math] [math] d_g (x)) ^ 2 [/ math]) es mínimo.
[matemáticas] (d_f (x)) ^ 2 = x ^ 4 + 2x ^ 3-2x ^ 2-4x-4 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (d_f (x)) ^ 2 = 4x ^ 3 + 6x ^ 2-4x-4 [/ matemáticas]
Este polinomio de tercer grado tiene tres soluciones,
[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {2} – \ frac {(1-i \ sqrt {3}) \ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}} {4 \ sqrt [3 ] {9}} – \ frac {7 (1 + i \ sqrt {3})} {4 \ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}} \ aprox -1.7446 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = – \ frac {1} {2} – \ frac {(1 + i \ sqrt {3}) \ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}} {4 \ sqrt [3 ] {9}} – \ frac {7 (1-i \ sqrt {3})} {4 \ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}} \ aprox -0.64458 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_3 = – \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} (\ frac {\ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}} {4 \ sqrt [3] {9}} + \ frac {7} {\ sqrt [3] {9 + 2i \ sqrt {237}}}) \ aprox. 0.88923 [/ matemáticas]
En cuanto a [math] d_g (x) [/ math]
[matemáticas] \ frac {d} {dx} (d_g (x)) ^ 2 = 20x + 6 [/ matemáticas]
Que tiene una solución para
[matemáticas] x_4 = – \ frac {6} {20} = – \ frac {3} {10} [/ matemáticas]
Un cálculo rápido muestra que
[matemáticas] d_g (x_4) = \ sqrt {\ frac {9} {10} – \ frac {18} {10} +1} = \ sqrt {\ frac {1} {10}} = \ frac {\ sqrt {10}} {10} \ lt d_f (x_3) \ lt 1 \ lt d_f (x_2) \ lt d_f (x_1) [/ math]
Entonces tenemos
[matemáticas] r = d_g (x_4) = \ frac {\ sqrt {10}} {10} [/ matemáticas]
Y [matemáticas] K = \ sqrt {10} [/ matemáticas]