¿Cuántas progresiones geométricas son posibles con 27, 8 y 12 como tres de los términos?

Answer 1

Puede haber innumerables progresiones que contienen 27,8,12 como sus términos:

En primer lugar, he hecho tres ecuaciones de la siguiente manera: Aquí 27, 12, 8 son [matemática] p ^ {th}, q ^ {th}, r ^ {th} [/ math] término de GP

27 = [matemáticas] AR ^ {p − 1} [/ matemáticas]… (1)

12 = [matemáticas] AR ^ {q − 1} [/ matemáticas]… (2)

8 = [matemáticas] AR ^ {r − 1} [/ matemáticas]…. (3)

Luego dividí la ecuación 1 por 2 y la ecuación 2 por 3 y obtuve las siguientes ecuaciones.

[matemáticas] 27/12 [/ matemáticas] = [matemáticas] (3/2) ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] R ^ {p − q} [/ matemáticas]…. (4)

[matemáticas] 12/8 [/ matemáticas] = [matemáticas] 3/2 [/ matemáticas] = [matemáticas] R ^ {q − r} [/ matemáticas]…. (5)

Luego obtuve dos ecuaciones más de la siguiente manera

p − q = 2

q − r = 1

Entonces dejé que p = k y obtuve q = k − 2 y r = k − 3

Ahora para cada valor de k obtenemos valores diferentes de q y r.

Answer 2

dejar para un médico de cabecera

Tp = 27 = ARp-1 …………. (1)

Tq = 8 = ARq-1 ………… (2)

Tr = 12 = ARr-1 ………… (3)

De (1) y (2)

R pq = 27/8 ⇒ Rp – q = (3/2) 3 ……… .. (4)

De (2) y (3);

Rq – r = 8/12 ⇒ Rq – r = (3/2) -1 ………… .. (5)

De (4) y (5)

R = 3/2; pq = 3; q – r = -1

p – 2q + r = 4; p, q, r ∈ N ………… (6)

Como puede haber infinitos números naturales para p, q y r para satisfacer la ecuación (6)

∴ Puede haber infinitos G. P ‘s.

Answer 3

Hay infinitas posibilidades.

[matemáticas] a_ {1} = 8, a_ {2} = 12, a_ {4} = 27,… [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {1} = 27, a_ {2} = 12, a_ {4} = 8, … [/ matemáticas] son ​​soluciones obvias.

Si [math] \; m \; [/ math] es cualquier número entero positivo [math] \; [/ math] [math] \ ge 2 \; [/ math] y [math] \; [/ math] [math ] r \; [/ math] es el positivo (principal) [math] \; m ^ {th} \; [/ math] raíz de [math] \; \ frac {3} {2} \; [/ math] luego [math] \; 8,12,27 \; [/ math] [math] [/ math] can ser considerado como el

[matemáticas] \; ([/ matemáticas] [matemáticas] k + 1) ^ {th} \; [/ matemáticas] [matemáticas], \; (k + m + 1) ^ {th} \; [/ matemáticas]

y [matemáticas] \; (k + 3m + 1) ^ {th} \; [/ math] términos de un GP con relación común [math] \; r \; [/ math] donde k es cualquier número entero no negativo dado.

Por lo tanto, hay infinitos GP de los cuales 8,12,27 son términos.