El área con signo de un triángulo es solo el área de un triángulo, si los vértices se enumeran en sentido antihorario, o negativo de esa área, si los vértices se enumeran en sentido horario.
Veamos un ejemplo simple, un triángulo en el primer cuadrante del plano cartesiano con un vértice en el origen.
El área del triángulo [matemáticas] O P_1P_2 [/ matemáticas] es el área del rectángulo menos el área de los tres triángulos rectángulos. El álgebra se simplifica muy bien, por lo que es posible que desee probarlo usted mismo antes de seguir leyendo.
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[matemáticas] A = x_1 y_2 – \ frac 1 2 x_1 y_1 – \ frac 1 2 x_2 y_2 – \ frac 1 2 (x_1 – x_2) (y_2 – y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ frac 1 2 (2 x_1 y_2 – x_1 y_1 – x_2 y_2 – x_1 y_2 + x_1 y_1 + x_2 y_2 – x_2 y_1) [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ frac 1 2 (x_1 y_2 – x_2 y_1) [/ matemáticas]
[matemática] \ def \ A {\ matemática {A}} [/ matemática] Dulce. En la figura tenemos [matemática] 0 <x_2 <x_1 [/ matemática] y [matemática] 0 <y_1 <y_2, [/ matemática] entonces [matemática] x_2 y_1 <x_1 y_2 [/ matemática], entonces [matemática] A [/ math] es positivo. Definamos [matemática] \ A, [/ matemática] el área firmada de un segmento [matemática] P_1 P_2, [/ matemática] como
[matemáticas] \ A (P_1 P_2) = \ A ((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \ frac 1 2 (x_1 y_2 – x_2 y_1) [/ matemáticas]
Entonces,
[matemáticas] \ A (P_2 P_1) = \ A ((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \ frac 1 2 (x_2 y_1 – x_1 y_2) = – \ A (P_1 P2) [/ matemática]
Entonces tenemos la propiedad que buscamos: área positiva en el caso del orden en sentido contrario a las agujas del reloj, área negativa para el orden en el sentido de las agujas del reloj.
Cuando tenemos un triángulo alejado del origen, obviamente podemos traducir un vértice al origen sin cambiar su área. Lo mismo ocurre con el área firmada, siempre que mantengamos el orden de los vértices.
Entonces, si ampliamos la definición de [matemáticas] \ A [/ matemáticas] a tres puntos, un triángulo arbitrario, tenemos
[matemáticas] \ A (P_1 P_2 P_3) = \ A ((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)) = \ A ((x_1-x_3, y_1 -y_3), (x_2-x_3 , y_2-y_3)) [/ math]
Nuevamente, pruebe el álgebra usted mismo. Es muy satisfactorio. Lo hice en el siguiente enlace, así que no lo repetiré aquí.
Obtenemos lo que creo que es un resultado increíble,
[matemáticas] \ A (P_1 P_2 P_3) = \ A (P_1 P_2) + \ A (P_2 P_3) + \ A (P_3 P_1) [/ matemáticas]
Esto se extiende a un polígono arbitrario, de hecho, nos da la fórmula para el área de un polígono arbitrario dados sus vértices en orden. Nuevamente, vea el enlace para la derivación, al menos para un cuadrilátero. Como siempre, pruébalo tú mismo primero.
[matemáticas] \ A (P_1 P_2 P_3… P_n) = \ A (P_1 P_2) + \ A (P_2 P_3) +… + \ A (P_n P_1) [/ matemáticas]
La razón por la que funciona es que cuando juntas dos triángulos para formar un cuadrilátero, el lado común de ambos triángulos, ahora en el interior, se cuenta positivo desde el área con signo de un triángulo y negativo desde el otro, por lo que se cancela.
No sé si así es como esos rodillos que usted rueda alrededor del perímetro le indican el área de un trabajo espacial; así es como los haría funcionar si tuviera que construir uno.
Referencia: Respuesta del usuario de Quora a ¿Cuál es el significado en matemáticas del área negativa?