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Definamos los números complejos como una terminación algebraica del campo de número real.
El polinomio [matemática] p (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemática], con coeficientes reales no tiene una solución real para [matemática] p (x) = 0 [/ matemática].
Entonces imaginemos que hay una solución, y llamemos a esta solución [math] i [/ math], para i unidad maginaria .
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Ahora, tenemos [math] \ mathbb R [/ math] para ser un campo. Tiene suma y multiplicación. La definición de polinomios se basa en adiciones finitas y multiplicaciones y potencias (potencias enteras no negativas, que son solo multiplicaciones finitas). Entonces, si agrego mi unidad imaginaria [math] i [/ math] a [math] \ mathbb R [/ math], como en [math] \ mathbb R \ cup \ {i \} [/ math], debo agregue algunos otros elementos para asegurarse de que sigue siendo un campo, con suma y multiplicación.
Entonces llamemos a [math] \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math] la complexión de campo de [math] \ mathbb R \ cup \ {i \} [/ math], debe seguir eso :
Si [math] z \ in \ mathbb R \ cup \ {i \} [/ math], entonces [math] z \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math] (porque Es una tez).
si [math] z, w \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math], entonces [math] z + w \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \} } [/ math] y [math] zt \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math] (porque estamos completando un campo).
Dados dos números reales [matemática] x [/ matemática] [matemática], y \ in \ mathbb R [/ matemática], tenemos que [matemática] y [/ matemática] [matemática] \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math] y [math] i \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math], por lo tanto [math] iy [/ math] [math] \ en \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math] y [math] x \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math], para ello [math] x + iy [/ math] [math] \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math].
Deje [math] x + iy \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math], y [math] u + iv \ in \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \} } [/ math], con [math] x, y, u, v \ in \ mathbb R [/ math]. Si se conservan las propiedades conmutativas, asociativas, de identidad y distributivas de la suma y la multiplicación, entonces
[matemáticas] \ begin {align *} (x + iy) + (u + iv) & = (x + u) + (iy + iv) \\ & = (x + u) + i (y + v) \ \ (x + iy) \ times (u + iv) & = x (u + iv) + iy (u + iv) \\ & = (xu + ixv) + (iyu + i ^ 2yv) \\ & = ( xu + i ^ 2yv) + (ixv + iyu) \ end {align *} [/ math]
Pero [matemáticas] i [/ matemáticas] es, por definición, una solución de [matemáticas] p (x) = x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] i ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Enchufándolo en la ecuación:
[matemáticas] \ begin {align *} (x + iy) \ times (u + iv) & = (xu + i ^ 2yv) + (ixv + iyu) \\ & = (xu-yv) + i (xv + yu) \ end {align *} [/ math]
Dado que [matemáticas] x, y, u, v [/ matemáticas] son reales, entonces [matemáticas] x + u [/ matemáticas], [matemáticas] y + v [/ matemáticas], [matemáticas] xu-yv [/ math] y [math] xv + yu [/ math] son todas reales, por lo que no necesitamos agregar más elementos a [math] \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math].
Ahora, agitemos que hay pares [matemática] \ langle x, y \ rangle [/ math] y [math] \ langle u, v \ rangle [/ math] de reales como [math] x + iy = y + iv [/ matemáticas]. Por las propiedades que estamos tratando de preservar, esto significa que [math] (xu) + i (yv) = 0 [/ math]. Veamos si podemos encontrar valores reales no triviales de [math] xu [/ math] y [math] yv [/ math] como [math] (xu) + i (yv) = 0 [/ math]. Digamos [math] a = xu [/ math] y [math] b = yv [/ math], y digamos que hay una solución real no trivial para [math] a + ib = 0 [/ math] . La solución trivial es cuando [matemáticas] a = b = 0 [/ matemáticas].
Consideremos [math] a-ib [/ math], que también pertenece al cutis, y consideremos el producto con la alternativa cero [math] a + ib [/ math].
[matemáticas] (a + ib) (a-ib) = a ^ 2 + b ^ 2 + i (ab-ba) = a ^ 2 + b ^ 2 \ en \ mathbb R [/ matemáticas]
Pero dado que [matemáticas] a + ib = 0 [/ matemáticas], y [matemáticas] \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ matemáticas] es un campo, entonces: [matemáticas] (a- ib) (a + ib) = 0 (a-ib) = 0 [/ matemáticas].
Por lo tanto, [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = 0 [/ matemática], con [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] real.
Esto solo es posible cuando [math] a = b = 0 [/ math]. Entonces, si [matemática] x + iy = u + iv [/ matemática], entonces [matemática] x = u [/ matemática] y [matemática] y = v [/ matemática].
Como hemos completado con éxito [math] \ mathbb R \ cup \ {i \} [/ math] como un campo, démosle un nombre: [math] \ mathbb C \ mathrel {: =} \ overline {\ mathbb R \ cup \ {i \}} [/ math]. Este es el conjunto de los números complejos.
Entonces, para cualquier par de números reales [math] \ langle x, y \ rangle \ in \ mathbb R ^ 2 [/ math], hay un único elemento [math] z \ in \ mathbb C [/ math ], que están relacionados por [math] z = x + iy [/ math].
Además, podemos demostrar que la suma de vectores en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] es equivalente a la adición de campo en [math] \ mathbb C [/ math], a través de esta identidad.
Si vemos en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math], como un plano cartesiano, la suma es equivalente a una traducción.
Pero, ¿qué tal la multiplicación? Como espacio vectorial [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] no tiene una multiplicación interna. Tiene producto escalar ([matemáticas] Z \ cdot W = \ langle x, y \ rangle \ cdot \ langle u, v \ rangle = xu + yv \ in \ mathbb R [/ math]) y producto con escalares ([ matemáticas] aZ = a \ langle x, y \ rangle = \ langle ax, ay \ rangle \ in \ mathbb R [/ math]).
El producto escalar (producto escalar) está relacionado geométricamente con el área del paralelogramo definido por dos vectores y el origen.
tl; dr:
Entonces, usando la relación de identidad para traducir del campo complejo [math] \ mathbb C [/ math], al espacio real bidimensional [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math], y la identidad cartesiana para traducir a una geometría euclidiana avión, veamos qué producto complejo es:
El complejo [matemática] 0 [/ matemática] es [matemática] 0 + 0i [/ matemática] (como se ve arriba), esto significa que [matemática] 0 [/ matemática] es equivalente a [matemática] \ langle0,0 \ rangle \ mathrel {=:} O [/ math], el origen en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math].
La unidad real [matemática] 1 [/ matemática] es [matemática] 1 + 0i [/ matemática], esto significa que [matemática] 1 [/ matemática] es equivalente a [matemática] \ langle1,0 \ rangle \ mathrel {= :} U_x [/ math], la unidad horizontal en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math].
La unidad imaginaria [matemática] i [/ matemática] es [matemática] 0 + 1i [/ matemática], esto significa que [matemática] i [/ matemática] es equivalente a [matemática] \ langle0,1 \ rangle \ mathrel {= :} U_y [/ math], la unidad vertical en [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math].
Si vemos esta distribución en el plano cartesiano, [math] U_x [/ math], [math] O [/ math] an [math] U_y [/ math] forman un ángulo recto, y la distancia desde [math] U_x [ / math] a [math] O [/ math] y de [math] U_y [/ math] a [math] O [/ math] son ambos [math] 1 [/ math].
Ahora, [math] z = x + iy [/ math] sea un número en [math] \ mathbb C [/ math], equivalente al punto [math] Z = \ langle x, y \ rangle [/ math] en [matemáticas] \ mathbb R ^ 2 [/ matemáticas].
Mediante nuestra construcción de [math] \ mathbb C [/ math] como un campo, [math] z \ times i = (x + iy) i = xi + i ^ 2y = -y + ix [/ math].
Entonces, después de multiplicar por [matemáticas] i [/ matemáticas], el punto [matemáticas] Z = \ langle x, y \ rangle [/ matemáticas] se transformó como [matemáticas] I (Z) = \ langle-y, x \ rangle [/matemáticas].
Ahora, si aún no está claro, puede usar la trigonometría para demostrar que el ángulo entre [matemática] Z [/ matemática], [matemática] O [/ matemática] y [matemática] I (Z) [/ matemática] ( entre [math] \ langle x, y \ rangle [/ math], [math] \ langle0,0 \ rangle [/ math] y [math] \ langle-y, x \ rangle [/ math]) es [math] \ frac12 \ pi [/ math], o 90 °, o una manera simple de demostrar que el ángulo es 90 ° es si el producto punto es cero, y: [math] Z \ cdot I (Z) = \ langle x, y \ rangle \ cdot \ langle-y, x \ rangle = -xy + yx = 0 [/ math]).