Muy buena pregunta
Suponiendo un ciclo de tiempo, es decir, de 0: 00–11: 59. Tiene un total de 720 minutos.
Considere que [math] t [/ math] minutos han pasado (donde [math] t [/ math] es variable). Entonces, [matemáticas] \ dfrac {t} {60} [/ matemáticas] han pasado horas.
Por horas a mano.
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[matemáticas] 12 horas [/ matemáticas] [matemáticas] → [/ matemáticas] [matemáticas] 360 ° [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 hora → 30 ° [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {t} {60} horas → 30t / 60 = (t / 2) ° [/ matemáticas]
Esto será válido para todos los valores de [matemática] t [/ matemática] porque en un ciclo, la manecilla de horas completará solo una rotación.
Pero por otro lado (el minutero: P) completaría 12 rotaciones
Así que por minutos mano.
[matemáticas] Caso 1: 0 [/ matemáticas] [matemáticas] <t <60. [/ matemáticas]
[matemáticas] 60 min → 360 ° [/ matemáticas]
[matemáticas] 1min → 6 ° [/ matemáticas]
[matemáticas] t [/ matemáticas] [matemáticas] min → (6t) ° [/ matemáticas]
[matemáticas] Caso 2: [/ matemáticas] [matemáticas] 60 <t <120 [/ matemáticas]
Funciona igual que el anterior pero, [matemáticas] ángulo = 360 ° -6t ° [/ matemáticas]
Porque ya ha cubierto una rotación.
Del mismo modo [matemáticas] caso3 [/ matemáticas] [matemáticas] 120 <t <180. [/ Matemáticas]
[matemáticas] Ángulo = 720-6t [/ matemáticas]
[matemáticas] 180 <t <240 → ángulo = 1080-6t [/ matemáticas]
Y así sucesivamente hasta [matemáticas] t <720. [/ Matemáticas] es decir, [matemáticas] caso12 [/ matemáticas]
Luego tomaremos la diferencia entre el ángulo movido por la manecilla de minutos y la manecilla de horas, que sería el y entre ellos en términos de [matemáticas] t [/ matemáticas]. Entonces hemos calculado el ángulo en función del tiempo. Entonces lo equipararíamos a <90 ° en cada caso por separado. Esto tomaría 12 casos diferentes para minutos y, por lo tanto, sería largo. Lo haré solo para el caso 1 y el caso 2 y calcularé la probabilidad para ellos. Del mismo modo, debe hacerse para todos los casos. El promedio de todas las probabilidades será la probabilidad total para cualquier momento dado.
Nota: aquí tomamos el promedio porque el caso 1 es parte de la situación total. El caso 2 es otra parte de la misma situación, etc. Entonces, la probabilidad de que el ángulo sea agudo en cualquier momento t (que puede estar en cualquiera de los 12 casos) es su promedio.