La respuesta óptima es 2448. En general, desde un triángulo equilátero de longitud lateral [matemática] 2n-3 [/ matemática] (con [matemática] n \ ge 4 [/ matemática] ), puede cortar [matemática] n (n -3) [/ matemáticas] triángulos de longitud lateral 2.
Anteriormente pensé que era 2445, pero cuando reconsideré el problema (un año después de haberlo visto por primera vez), encontré espacio para 3 más. La “edición final” a continuación describe cómo se hace.
Todas las respuestas hasta ahora dicen [matemáticas] 1 + 3 + 5 + \ cdots + 97 = 49 ^ 2 = 2401 [/ matemáticas]. Eso viene un poco corto. Aquí hay una ilustración de una versión más pequeña de este problema: el triángulo más grande tiene 9 unidades de longitud lateral, y los triángulos más pequeños tienen 2 unidades de longitud lateral. La imagen de la izquierda es similar a la solución descrita en las otras respuestas: [matemáticas] 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ 2 = 16 [/ matemáticas] triángulos (y desperdiciando el resto del espacio). La ilustración de la izquierda muestra una mejor configuración con 18 triángulos, apretando 2 triángulos adicionales en la fila inferior.
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Para el triángulo de 99 cm, la fila inferior tendría 97 triángulos si se organiza como en la izquierda arriba, mientras que una configuración como la de la derecha tendría 117, lo que da un total de 2421.
Editar: publiqué lo anterior a toda prisa, y tenía la intención de agregar “Podría haber una configuración aún mejor”, y después de una consideración adicional, estoy bastante seguro de que hay configuraciones aún mejores, pero no tengo tiempo en este momento para ordenar los detalles. Intentaré volver a esto mañana por la tarde o por la noche.
Segunda edición: puede obtener 2445 llenando la “parte superior” del triángulo con una matriz de triángulos de 76 cm (que contiene [matemática] 38 ^ 2 = 1444 [/ matemática] triángulos), y organizando siete matrices de 24 cm, con una esquina quitada, a lo largo de la parte inferior del triángulo de manera similar a la imagen de la derecha arriba. Cada una de esas siete matrices contiene [matemática] 12 ^ 2-1 = 143 [/ matemática] triángulos, dando un total de 2445. Eso deja solo siete áreas en blanco (el mismo tamaño que las de la imagen de la derecha), cada una que es el 75% de un triángulo pequeño, por lo que nos faltan 5.25 triángulos pequeños para llenar todo el espacio.
En general, para llenar (tanto como sea posible) un triángulo de n cm con triángulos de 2 cm (con n impar), haga que las matrices a lo largo del fondo sean lo más grandes posible, lo que significa que deben estar k cm de lado (menos una esquina), de modo que k es el número más grande para el cual [matemática] k + 1 [/ matemática] divide [matemática] n + 1 [/ matemática].
Edición FINAL: desde un triángulo equilátero de longitud lateral [matemática] 2n-3 [/ matemática], puede cortar [matemática] n (n-3) [/ matemática] triángulo de longitud lateral 2, desperdiciando solo 2.25 triángulos de espacio . Hay varias formas de lograr esta configuración óptima; Aquí hay algunas posibilidades para triángulos de tamaño 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 y 21:
Tenga en cuenta que cuando la longitud del lado es [matemática] 4k-1 [/ matemática] (7, 11, 15, 19, etc.), una configuración óptima puede estar formada por tres grupos de [matemática] k ^ 2-1 [ / math] cada uno (tamaño- [math] 2k [/ math] triángulos con una esquina eliminada), y un grupo de [math] (k-1) ^ 2 [/ math] en el medio (un tamaño completo- [math ] (2k-2) [/ matemática] triángulo). Entonces, para 99 cm, usaría tres grupos de 624 triángulos pequeños y uno de 576.
Cuando la longitud del lado es [matemática] 4k + 1 [/ matemática], coloque triángulos de tamaño completo-2k en cada esquina, cada uno de los cuales es un grupo de triángulos [matemática] k ^ 2 [/ matemática]) y un tamaño truncado – [matemática] (2k + 2) [/ matemática] triángulo en el centro, que contiene [matemática] (k + 1) ^ 2-3 [/ matemática] triángulos más pequeños.
¿Cuántos △ equiláteros de 2 cm de lado puedes cortar de un △ equilátero de 99 cm de lado?