Sea [matemática] A = 16 ([/ matemática] área [matemática]) ^ 2 [/ matemática] de un triángulo cuyas longitudes de los cuadrados son [matemática] Q, [/ matemática] [matemática] R [/ matemática] y [ matemáticas] S. [/ matemáticas] La fórmula de Arquímedes nos dice
[matemáticas] A = 4RS – (QRS) ^ 2 = (Q + R + S) ^ 2 – 2 (Q ^ 2 + R ^ 2 + S ^ 2) [/ matemáticas]
Si nunca antes ha visto esto, es posible que desee considerar cómo en el caso del triángulo rectángulo, [matemática] Q = R + S [/ matemática], obtenemos [matemática] A = 4RS.
[matemática] A [/ matemática] tiene que ser un número positivo para ser un triángulo real, o cero para ser un triángulo degenerado con tres puntos colineales. Menos de cero significa que los dos lados más cortos no se suman al más largo. Observe cómo la simetría en la fórmula nos permite evitar el análisis de casos.
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Nos interesa saber cuándo [matemáticas] A [/ matemáticas] es positivo.
[matemáticas] (Q + R + S) ^ 2> 2 (Q ^ 2 + R ^ 2 + S ^ 2) [/ matemáticas]
En la pregunta tenemos una progresión geométrica con un multiplicador, llámelo [matemática] r. [/ Matemática] Sabemos que [matemática] r> 0 [/ matemática] ya que [matemática] r <0 [/ matemática] da lados negativos. Podemos establecer [matemática] Q = 1, R = r ^ 2, S = r ^ 4. [/ matemática] (Recuerde [matemática] Q, R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática] son los cuadrados longitudes.) Escribiremos todo en términos de [matemáticas] R [/ matemáticas] para minimizar el desorden.
[matemáticas] (1 + R + R ^ 2) ^ 2> 2 (1 + R ^ 2 + R ^ 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 + R ^ 2 + R ^ 4 + 2R + 2R ^ 3 + 2R ^ 2> 2 + 2R ^ 2 + 2R ^ 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] -R ^ 4 + 2R ^ 3 + R ^ 2 + 2R – 1> 0 [/ matemáticas]
Esto factores relativamente bien:
[matemáticas] – (R ^ 2 + R + 1) (R ^ 2 – 3R + 1)> 0 [/ matemáticas]
El primer factor siempre es positivo, afortunadamente. Entonces solo necesitamos saber cuándo
[matemática] R ^ 2 – 3R + 1 <0 [/ matemática]
La fórmula cuadrática nos dice cuándo esto cruza cero. El coeficiente positivo en [matemática] R ^ 2 [/ matemática] nos dice que esta es una TAZA (cóncava positiva) por lo que es negativa entre las raíces. Por la constante sabemos que el producto de las raíces es 1, es decir, las dos raíces son recíprocas, lo que tiene sentido cuando lo piensas.
Entonces
[matemáticas] \ dfrac {3 – \ sqrt {5}} {2} <R <\ dfrac {3 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
Tomar raíces cuadradas da lo que pensé que era la respuesta final,
[matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {3 – \ sqrt {5}} {2}} <r <\ sqrt {\ dfrac {3 + \ sqrt {5}} {2}} [/ matemáticas]
Esos números tienen una bonita raíz cuadrada, la proporción áurea. Eso significa que podríamos haber factorizado si volvíamos a poner [math] r [/ math] en:
[matemáticas] r ^ 4 – 3r ^ 2 + 1 <0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (r ^ 2 + r – 1) (r ^ 2 – r – 1) <0 [/ matemáticas]
Cada cuadrático aporta una raíz negativa y una raíz positiva. Queremos los signos más para cada cuadrático.
[matemáticas] \ dfrac {-1 + \ sqrt {5}} {2} <r <\ dfrac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
Eso está entre [matemática] .6 [/ matemática] y [matemática] 1.6, [/ matemática] entre la proporción áurea y su recíproco.
Gran pregunta Gracias por el A2A.