¿Por qué el eje z es perpendicular a los otros ejes? ¿Y está relacionado con los vectores de productos cruzados?

Answer 1

Creo que esto se puede remontar al estudio del álgebra lineal.
Al definir ejes, es bastante importante encontrar cualquier conjunto de vectores linealmente independientes (no se puede hacer uno de los otros) que luego se pueden combinar linealmente para formar cualquier otro vector en su espacio. Por ejemplo:
i = (1,0) yj = (0,1)
Son vectores unitarios bien conocidos en el plano xy, a partir de los cuales se puede crear cualquier otro vector en el plano xy. Como sigue:
(7,2) = 7 (1,0) + 2 (0,1) = 7 i + 2 j

¿Cómo se relaciona esto con la definición de un eje z?
Bueno, ¿notan que dije que podría usarse cualquier conjunto de vectores que formen un conjunto de expansión?
Eso significa que, si queremos una “dimensión adicional”, es decir, el eje z aquí, necesitaremos un tercer vector, pero que hay muchas posibilidades para abarcar conjuntos, considere:
u = (1,1,1) v = (1,1,0) w = (1,0,0).

Estos vectores forman un conjunto de nuestro espacio tridimensional. Sin embargo, no son los más fáciles de usar, ya que todos tienen algún componente en común. Como resultado, ampliamos nuestra notación i , j anterior de vectores unitarios a;
i = (1,0,0), j = (0,1,0) yk = (0,0,1).

Encontraremos aquí, nuevamente, que estos forman un conjunto de expansión. Sin embargo, también podemos ver que estos vectores no tienen ningún componente en común, es decir, todos apuntan en diferentes direcciones, y como tal, podemos deducir lógicamente que estarían en ángulo recto entre sí.

La definición de producto cruzado es una consecuencia de esto y la manipulación de la matriz, a diferencia de lo contrario. No se asumió el producto cruzado, se dedujo de la forma en que podemos ver que los vectores deben comportarse cuando les aplicamos transformaciones matriciales.

Entiendo que mucho de esto puede ser bastante difícil de seguir, pero leer un poco de álgebra lineal en línea debería hacerlo mucho más fácil. Espero que eso te aclare un poco.

Answer 2

Antes de responder por qué el eje [matemático] z [/ matemático] es perpendicular a los otros dos, primero debemos entender por qué los ejes [matemático] x [/ matemático] y [matemático] y [/ matemático] son ​​perpendiculares a cada uno otro.

La razón es la conveniencia .

Cualquiera de los dos ejes que no sean paralelos entre sí habría estado igualmente bien; sin embargo, habrían sido un poco más difíciles de usar. Por ejemplo, si elijo que mis ejes estén a 45 grados entre sí, todavía puedo describir cualquier punto en el plano inducido por estos dos ejes de manera única, pero hubiera sido un poco menos intuitivo hacerlo que usar ejes perpendiculares. Entonces, por conveniencia, se seleccionaron las dos mejores direcciones: las que son perpendiculares entre sí.

Lo mismo es cierto para el eje [matemático] z [/ matemático]. Cualquier dirección que no esté en el mismo plano que los ejes [matemático] x [/ matemático] e [matemático] y [/ matemático] podría haberse elegido para crear el eje [matemático] z [/ matemático]. La dirección más intuitiva, sin embargo, era la perpendicular a ambas.

Luego pregunta si esto está relacionado con el producto cruzado. Bueno en realidad no. El vector producido por el producto cruzado es perpendicular a los dos vectores ‘multiplicados’ solo porque era conveniente para los físicos definirlo de esa manera. No tiene nada que ver con el hecho de que los tres ejes son mutuamente perpendiculares. Sin embargo, el hecho de que lo sean hace que el cálculo del producto cruzado sea algo más fácil.

Answer 3

A2A: por definición. No.

Sucede que el producto cruzado de cualquiera de los dos vectores no paralelos distintos de cero es un vector que es perpendicular a ambos, pero no importa en qué dirección apuntaban. En particular, el producto cruzado de un vector unitario en el eje [matemático] x [/ matemático] y uno en el eje [matemático] y [/ matemático] apunta a lo largo del eje [matemático] z [/ matemático].

Answer 4

El eje z se usa para funciones en el espacio 3D. por ejemplo, la ecuación de una esfera de radio 1 es x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1

El producto cruzado produce un vector perpendicular al plano de x e y.

Answer 5

La perpendicularidad del eje Z a los otros dos ejes (mutuamente perpendiculares) permite utilizar la fórmula simple de distancia entre dos puntos. Es decir, si A = (x1, y1, z1) y B = (x2, y2, z2), entonces la distancia de A a B es sqrt ((x2-x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2 + (z2-z1) ^ 2).

Como ha insinuado, la elección del eje z perpendicular nos permite representar fácilmente un punto P = (x, y, z), en términos de la base del vector unitario para R ^ 3 = {v1 = (1,0, 0), v2 = (0,1,0), v3 = (0,0,1)}, como un vector (desde el origen) por P = xv1 + yv2 + zv3 y tienen la relación v1 X v2 = v3 ( X = producto cruzado).

Un tercer eje no perpendicular hace que las fórmulas sean más complicadas y deben calcularse por separado para cada elección del vector del eje.

Espero que esto ayude.

Answer 6

Primero, dado que suponemos que el espacio es tridimensional, requeriría un sistema de coordenadas de tres ejes, con un origen designado, para ubicar un punto en este espacio. En su pregunta anterior, ningún eje tiene que ser perpendicular a los otros dos; es solo una cuestión de conveniencia, porque la perpendicularidad elimina los “términos cruzados desordenados” en su trabajo.

Answer 7

No es una suposición.

Los ejes xyz son ortogonales (90 grados entre sí) entre sí según la definición del sistema de coordenadas cartesianas (y del producto vectorial cruzado).

El sistema cartesiano no es el único.

Los sistemas de coordenadas ni siquiera tienen que ser ortogonales. Se prefieren los sistemas ortogonales porque las matemáticas son más fáciles.

Answer 8

Answer 9

Todos los ejes son perpendiculares entre sí. X va de adelante hacia atrás, Y sube y baja, y Z va de lado a lado. Todos están en ángulo recto.