Cómo encontrar el centro y el radio de un círculo con la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 + 8x-2y + 15 = 0

Elígeme

¿Recuerdas cuando aprendiste a completar el cuadrado y luego lo olvidaste la próxima semana cuando aprendiste la fórmula cuadrática? Es hora de recordarlo de nuevo. Recordatorio: [matemática] x ^ 2 + bx + c = (x + b / 2) ^ 2 – b ^ 2/4 + c, [/ matemática] que puede verificar fácilmente.

Tenemos que completar el cuadrado en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y. [/ Matemáticas] Es agradable cuando los coeficientes en los términos lineales son como si estuvieran aquí, porque entonces no obtenemos ninguna fracción .

[matemáticas] 0 = x ^ 2 + 8x + y ^ 2 – 2y + 15 = (x + 4) ^ 2 – 4 ^ 2 + (y – 1) ^ 2 – 1 + 15 [/ matemáticas] [matemáticas] = (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 -16 -1 + 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x- (-4)) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 2 = (\ sqrt {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Como ahora tiene la forma [matemática] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, [/ matemática] podemos leer fácilmente desde el centro, [matemática] (- 4,1) [/ matemática ] y el radio [math] \ sqrt {2}. [/ math]

Cheque:

[matemáticas] (x- (-4)) ^ 2 + (y-1) ^ 2 – 2 = x ^ 2 + 8x + 16 + y ^ 2 – 2y + 1 -2 [/ matemáticas] [matemáticas] = x ^ 2 + 8x + y ^ 2 -2y + 15 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Comience con la ecuación: x ^ 2 + y ^ 2 + 8x-2y + 15 = 0 … (1). La ecuación general de un círculo es (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, que se convierte en

x ^ 2 – 2hx + h ^ 2 + y ^ 2 – 2yk + k ^ 2 = r ^ 2… (2). Compare la ecuación dada con la ecuación general de un círculo -2h = 8, o h = -4. -2k = -2, o k = 1.

h ^ 2 + k ^ 2 – r ^ 2 = 15. O r ^ 2 = h ^ 2 + k ^ 2 -15 = 16 + 1–15 = 2. O r = 2 ^ 0.5

Entonces el centro del círculo es (-4,1) y su radio es 2 ^ 0.5.

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 2y + 15 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 8x + y ^ 2 – 2y = -15 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 8x + 16 + y ^ 2 – 2y + 1 = -15 + 16 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 4) ^ 2 + (y – 1) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

La forma estándar de un círculo es [matemática] r ^ 2 = (x – h) ^ 2 + (y – k) ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] r [/ matemática] es el radio y [matemática] ( h, k) [/ math] es el centro del círculo. Al conectar nuestros valores, vemos que [matemática] h = -4 [/ matemática], [matemática] k = 1 [/ matemática] y [matemática] r = \ sqrt {2} [/ matemática].

Por lo tanto, el centro de este círculo está en [matemática] (- 4, 1) [/ matemática] y su radio es [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática].

Mis mejores deseos, Luke.

La ecuación es de forma.

x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0

Ahora comparándolo con tu ecuación

g = 4

f = -1

c = 15

Entonces el centro es (-g, -f) entonces (-4,1)

Y el radio viene dado por la raíz de (g ^ 2 + f ^ 2 -c)

Hacer radio = raíz de (16 + 1–15)

= 1.414 unidades.

Agregue constante (16–16) y (1–1) a su ecuación dada para obtener

x ^ 2 + 8 * x + (16–16) + y ^ 2 – 2 * y + (1–1) + 15 = 0 que al reorganizar los términos se convierte

(x ^ 2 + 8 * x + 16) + (y ^ 2 – 2 * y + 1) -16 – 1 + 15 = 0, que reconocemos que está en la forma

(X + 4) ^ 2 + (Y-1) ^ 2 = 2, la ecuación de un círculo centrado en x = -4, y = 1 y radio de raíz cuadrada (2)

Cambia la ecuación a una versión más completa completando el cuadrado .

[matemáticas] x ^ 2 + 8x + y ^ 2-2y + 15 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 8x) + (y ^ 2-2y) = – 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 8x + a) + (y ^ 2-2y + b) = – 15 + a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 + 8x + 16) + (y ^ 2-2y + 1) = – 15 + 16 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 2 [/ matemáticas]

Esto ahora le da el centro y el radio como la forma estándar para la ecuación de un círculo.

Su centro está en (-4,1) y el radio es [math] \ sqrt {2} [/ math]

Vea este enlace para obtener una comprensión práctica de las ecuaciones de círculo de forma estándar y cómo se traducen al plano xy

Forma general de ecuación de un círculo

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 8x-2y + 15 = 0 \ iff (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 + 15 – 16 -1 = 0 \ iff (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 2. [/ Matemáticas]

Coordenadas centrales: [matemáticas] (- 4, 1). [/ math] Radio = [math] \ sqrt {2}. [/ math]

Salud.

(x + 4) ²-16 + (y-1) ²-1 + 15 = 0

(x + 4) ² + (y-1) ² = 2

centro = (- 4,1)

radio = √2

Un círculo generalmente tiene la forma de: [matemáticas] (x-r_x) ^ 2 + (y-r_y) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Dado esto, necesitamos transformar la ecuación dada a la de arriba. Entonces, usamos un poco de intuición. ¿Cómo obtendrías [matemáticas] 8x [/ matemáticas] de eso? Expandiendo lo anterior para algunos consejos:

[matemáticas] x ^ 2 – 2xr_x + r_x ^ 2 = x ^ 2 + 8x + C [/ matemáticas]

Entonces, vemos [math] r_x = -4 [/ math] inmediatamente. Pero hacerlo genera un valor constante de 16, por lo que tenemos esto en cuenta. Repita para [matemáticas] y [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] r_y = 1 [/ matemáticas] y una constante de 1.

Ahora, necesitamos restar estas constantes. Entonces tenemos [matemática] 15-17 = -2 \ implica (x + 4) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = r ^ 2 = 2 \ implica r = \ sqrt {2} [/ matemática]

Entonces esa es la respuesta. El centro está en [math] (- 4, 1) [/ math] con radio [math] \ sqrt {2} [/ math].

X ^ 2 + 8x + 4 ^ 2 – 4 ^ 2 + y ^ 2 – 2y +1 – 1 + 15 = 0

(X + 4) ^ 2 + (y – 1) ^ 2 -16–1 + 15 = 0

(X + 4) ^ 2 + (y – 1) ^ 2 = 2

El cuadrado del radio r ^ 2 = 2

=> radio r = √2

Y el centro está en (-4, 1)