¿Cuáles son ejemplos de un espacio topológico interesante y no arbitrario además de un espacio euclidiano?

Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir, ¡pero hay muchos espacios topológicos interesantes y útiles!

Cualquier variedad topológica calificaría, por lo que esto incluye esferas n, espacio euclidiano, espacios proyectivos, etc.

Dado cualquier anillo conmutativo R, el conjunto de ideales primarios en R naturalmente viene con una topología llamada topología de Zariski, que le da un espacio llamado espectro del anillo. Existe una biyección entre los homomorfismos de anillo R a S y las funciones continuas Spec (S) a Spec (R).

Dado un grupo abeliano A localmente compacto, puede observar el grupo abeliano de caracteres grupales, que son solo homomorfismos grupales continuos desde A hasta los números conplejos. Este nuevo grupo en sí hereda una topología que es compatible con la operación del grupo natural, y usted termina con un nuevo grupo abeliano localmente compacto llamado grupo dual de A. Esta es la base del análisis armónico abstracto en la teoría de grupos topológicos.

En la teoría de la homotopía y la teoría de la categoría superior, puede tomar cualquier grupo de infinito y formar libremente su realización geométrica, que es un espacio topológico que tiene el grupo de infinito como su grupo de infinito fundamental. En cierto sentido, todos los datos de conectividad de la realización geométrica se almacenan en el grupo.

Hay muchos más ejemplos, pero estos son solo algunos importantes. ¡Espero que esto te dé algo de alcance!

Answer 2

Creo que vale la pena divagar sobre por qué los espacios topológicos son tan ubicuos en matemáticas, como señaló Jake.

Hay muchas estructuras en matemáticas que nos permiten hacer alguna forma de análisis / geometría (espacios métricos, espacios normados, campos valorados solo por nombrar algunos). La mayoría de ellos tienen un inconveniente: no es obvio cómo construir nuevos a partir de los viejos, algo que es crucial en las matemáticas. Por ejemplo: comenzando con un espacio métrico [matemático] X [/ matemático] y cualquier función [matemática] f: X \ longrightarrow Y [/ matemático], no siempre es posible definir una estructura de espacio métrico obvio en [matemático] Y . [/ math] Por el contrario, comenzando con [math] Y [/ math] como espacio métrico, solo puede definir una métrica obvia en [math] X [/ math] usando [math] f [/ math] si la función comenzó con es inyectiva.

Sin embargo, en el mundo de la topología, esto (y mucho más) es de hecho posible. Por ejemplo, podría comenzar con la topología estándar en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] y mirar el cuadrado de la unidad [ matemáticas] I ^ 2 [/ matemáticas]. Como existe la función obvia [matemáticas] I ^ 2 \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas], el cuadrado de la unidad se convierte en un espacio topológico (la topología del subespacio) . Además, puedo decidir mirar la función que identifica los puntos antipodales en este cuadrado de la unidad. La topología garantiza que el resultado siga siendo un espacio (la topología del cociente ). De hecho, este espacio en nada más que el plano proyectivo [math] \ mathbb {P} ^ 2 [/ math] (algo complicado que no puedes representar en tres dimensiones). Entonces, usando esto, el plano proyectivo no es más que un espacio topológico dibujado como un cuadrado unitario, donde se hace un seguimiento del hecho de que se han identificado ciertos puntos. Si identifico los puntos de manera un poco diferente, puedo crear un modelo para el toro, la tira de Moebius o incluso la botella de Klein que Henning menciona en su nombre con la misma facilidad …

¡La moraleja de la historia es que puedes hacer espacios muy triviales a partir de los triviales rápidamente usando el poder flexible de la topología!

De hecho, esta técnica se basa en mostrar el hermoso teorema de clasificación para superficies cerradas conectadas

Superficie (topología) – Wikipedia

Answer 3

La mayoría de los espacios topológicos en los que puedo pensar son principalmente interesantes porque poseen alguna estructura adicional. Las curvas elípticas, por ejemplo, son tori, pero sin alguna estructura adicional, digamos la estructura de grupo, o una métrica de Riemann, o algo así, no son realmente interesantes porque desde una perspectiva topológica, cada toro es igual a todos los demás.

Si queremos algo donde solo la topología sea interesante, supongo que el ejemplo clave sería algo así como el espacio de clasificación de un grupo topológico. Por supuesto, eso requiere que comencemos desde un espacio topológico con estructura adicional, por lo que tal vez no sea un gran ejemplo.

Honestamente, una topología sola es un tipo de estructura muy débil. Es la cantidad mínima de estructura que puede tener y aún decir qué funciones son continuas o no. En la mayoría de los ejemplos que se me ocurren, la topología está ahí básicamente como algo en lo que se puede colgar una estructura adicional.

Answer 4

Los espacios hiperbólicos y elípticos son los otros tipos de espacio curvo que tienen propiedades agradables y constantes. Otros espacios topológicos con usos interesantes son tori, espacios proyectivos y múltiples que surgen en el análisis de datos. Al menos para los datos múltiples, puedo referirlo a algunas aplicaciones de topología y algoritmos para estos espacios: https://www.slideshare.net/Colle …

Los colectores de datos y las herramientas topológicas se están convirtiendo en métodos más comunes en la ciencia de datos y el aprendizaje automático en estos días (especialmente la teoría Morse y las cubiertas / nervios de los espacios). El número de espacios topológicos diferentes a partir de los datos es numeroso, y las herramientas como la homología persistente ayudan a clasificar estos espacios topológicamente al estimar los números Betti de los espacios.

Answer 5

La respuesta de Jake Chateau ofrece una visión general muy amplia.

Usted habló de espacios funcionales.

Los espacios de vectores topológicos generalmente son espacios de Banach e Hilbert a menudo espacios de funciones.

Por ejemplo, [math] C ^ k (I, \ mathbb {R}) [/ math] las [math] k [/ math] multiplican continuamente las funciones diferenciables de [math] I [/ math] a [math] \ mathbb { R} [/ math] son ​​un espacio con la supremumsnorm definida como

[matemáticas] \ Vert f \ Vert _ {\ infty}: = \ sup_ {x \ in I} \ vertf (x) \ vert [/ math]

También podemos mirar [math] \ mathcal {L} ^ 1 (\ Omega, \ mathbb {R}) [/ math]

Los elementos en esto son clases de equivalencia

[matemáticas] f, g: (\ Omega, \ mathcal {A}, \ mu) \ to \ mathbb {R} [/ math]

[matemáticas] f \ sim g \ Leftrightarrow \ displaystyle \ int_ \ Omega fd \ mu = \ int_ \ Omega gd \ mu [/ math]

Ahora definimos una norma con

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ \ Omega \ vert f \ vert d \ mu [/ math]

Donde [math] f [/ math] representa la clase de equivalencia.

Además, la categoría o variedades es parte de la categoría de espacios topológicos y definitivamente hay muchas variedades interesantes.

Answer 6

Para mí, me vienen a la mente espacios con propiedades universales.

Puedes ver mi respuesta a ¿Cuáles son algunos de los espacios topológicos más interesantes? para dos de ellos