Y = mx-3 y x ^ 2 + y ^ 2-2y-3 = 0 se cruzan en P y Q. ¿Cuál es el lugar geométrico del punto medio de PQ si m es variable?

Answer 1

[matemáticas] y = mx-3 [/ matemáticas], esta es una línea que se cruza en [matemáticas] (0, -3) [/ matemáticas]. Llamemos a este punto [matemáticas] A [/ matemáticas].

[matemática] x ^ 2 + y ^ 2-2y-3 = 0, \ iff, x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 [/ matemática], este es un círculo centrado en [matemática] (0, 1) [/ math] y radio [math] 2 [/ math]. Llamemos [math] B [/ math] al centro de este círculo, y [math] \ mathcal S [/ math] al círculo.

Sea [math] M [/ math] el punto medio de [math] PQ [/ math]. Como [math] PQ [/ math] es un acorde, entonces [math] BM [/ math] es perpendicular a [math] PQ [/ math].

Entonces [math] \ angle BMA [/ math] es correcto. Por lo tanto, [math] M [/ math] está ubicado en el círculo con diámetro [math] AB [/ math]. Este es un círculo centrado en [matemáticas] (0, -1) [/ matemáticas] y radio [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Llamemos a este círculo [math] \ mathcal T [/ math].

[math] M [/ math] también está en el interior del disco [math] \ mathcal S [/ math]. Entonces [math] M [/ math] está en el arco de [math] \ mathcal T [/ math] que está en el interior de [math] \ mathcal S [/ math]. Dado que [math] \ mathcal T [/ math] es un reflejo de [math] \ mathcal S [/ math] en el eje [math] x [/ math], entonces [math] M [/ math] [matemática] y [/ matemática] ordenada es positiva.

Entonces el lugar geométrico de M tiene la forma [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2y-3 = 0, y \ ge0 [/ matemática]. (Desigualdad estricta si prohibimos las tangentes, [math] y = \ pm \ sqrt3x-3 [/ math])

Answer 2

Probablemente pueda simplificar su trabajo mediante un cambio de origen. La ecuacion

x ^ 2 + y ^ 2 – 2y -3 = 0 se puede escribir x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 y esto representa un círculo con radio 2, centrado en (0, 1). La línea se escribe como y-1 = mx-4.

Entonces los puntos P y Q están dados por x ^ 2 + (mx-4) ^ 2 = 4 y son los puntos finales de un acorde del círculo. Resolviendo, (1 + m ^ 2) x ^ 2 – 8mx + 12 = 0, x = (4m + – sqrt (4 – 12m ^ 2)) / (1 + m ^ 2) que son reales solo si m ^ 2 <1/3.

Esta solución es bastante desordenada, pero desea el punto medio que tiene la coordenada x 4m / (1 + m ^ 2). El valor y correspondiente, como el punto se encuentra en la línea, es 4m ^ 2 / (1 + m ^ 2) -3.

Entonces, el lugar geométrico es el conjunto de puntos (4m / (1 + m ^ 2), 4m ^ 2 / (1 + m ^ 2) – 3) donde | m | <1 / sqrt (3).

Para identificar la forma, debemos eliminar m. Sea y = 4m ^ 2 / (1 + m ^ 2) – 3. Entonces

(y + 3) (1 + m ^ 2) = 4m ^ 2, m ^ 2 = (y + 3) / (1-y) yx = (y + 3) / m = sqrt ((1-y) / (y + 3)),

es decir, 1-y = (y + 3) x ^ 2, (x ^ 2 + 1) y = 1–3x ^ 2 donde (1-y) / (y + 3)> 0, es decir, -3

Answer 3

x ^ 2 + y ^ 2–2y + 1–1–3 = 0 x ^ 2 + (y ^ 2–2y + 1) = 4 x ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 Círculo del centro (0 , -1) y radio = 2 Podemos aislar la variable y (y-1) ^ 2 = 4-x ^ 2 y = + – (4-x ^ 2) ^ (1/2) +1

Podemos intersecar esta y con la y de mx-3. Entonces mx-3 = + – (4-x) ^ (1/2) +1 Resuelve esta ecuación para x con un cuadrático. Ahora puedes poner el valor de x en y = mx-3

y tienes el punto y. Ambas soluciones (x e y) están en función de m.

Ahora puedes aplicar la distancia entre dos puntos. Podemos ver que el punto (0, -3) está en la línea de cualquier balandra. Pero este punto está en el círculo. Entonces este punto es, por ejemplo, el punto P.