¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y plana?

Answer 1

Una línea en dos espacios (el plano) tiene la forma

[matemática] ax + by = c [/ matemática]

Aquí solo hay dos grados de libertad; solo importa la proporción [matemática] a: b: c [/ matemática].

Esto es análogo al plano en tres espacios, que tiene una ecuación lineal similar

[matemáticas] ax + por + cz = d [/ matemáticas]

De nuevo, solo importa la proporción [matemática] a: b: c: d [/ matemática], por lo que aquí hay tres grados de libertad.

La ecuación para una línea en tres espacios es más complicada. Una línea es la intersección de dos planos, por lo que podemos especificar ambos planos, con dos ecuaciones:

[matemáticas] ax + por + cz = d [/ matemáticas]

[matemáticas] ex + fy + gz = h [/ matemáticas]

Si realmente necesitamos una ecuación, podemos multiplicar dos factores que deben ser cero:

[matemáticas] (ax + by + cz – d) (ex + fy + gz – h) = 0 [/ matemáticas]

Esa es la ecuación para una línea arbitraria en 3D.

Por lo general, una ecuación vectorial paramétrica es más fácil de manejar. Especificamos un punto en la línea [matemática] (a, b, c) [/ matemática] y un vector de dirección [matemática] (d, e, f) [/ matemática] y tenemos un parámetro real [matemática] t [/ matemáticas] que van más allá de los reales, por lo que la línea es simplemente

[matemáticas] (x, y, z) = (a, b, c) + t (d, e, f) [/ matemáticas]

que se generaliza fácilmente a más dimensiones.

Answer 2

Una línea en el espacio 3D se puede describir mediante ecuaciones simétricas en la forma:

[matemáticas] \ frac {x-x_0} {a} = \ frac {y-y_0} {b} = \ frac {z-z_0} {c} [/ matemáticas]

Sin embargo, un avión debe tener la forma:

[matemática] ax + por + cz + d = 0 [/ matemática]

Esta ecuación plana se puede probar utilizando productos de puntos:

Asumamos:

[matemáticas] \ vec n = \ izquierda [/ matemáticas]

[matemática] \ vec r_0 = \ izquierda [/ matemática]

[matemáticas] \ vec r = \ izquierda [/ matemáticas]

En un plano, todos los vectores dentro del plano son perpendiculares a un vector común. Por lo tanto, suponiendo que existe un vector de este tipo, que notamos por [math] \ vec n [/ math], el producto de punto de [math] \ vec n [/ math] y [math] \ vec r – \ vec r_0 [/ math] debe ser cero, donde [math] \ vec r_0 [/ math] y [math] \ vec r [/ math] son ​​vectores arbitrarios:

[matemáticas] \ vec n \ cdot (\ vec r – \ vec r_0) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ left \ cdot \ left = 0 [/ math]

[matemática] a (x-x_0) + b (y-y_0) + c (z-z_0) = 0 [/ matemática]

[matemática] ax + por + cz + (- ax_0-by_0-cz_0) = 0 [/ matemática]

Como [math] (- ax_0-by_0-cz_0) [/ math] es una constante, podemos llamarlo “d”. La ecuación se convierte en:

[matemática] ax + por + cz + d = 0 [/ matemática]

Answer 3

La ecuación lineal es bidimensional.

La ecuación plana es tridimensional.

Answer 4

En realidad son muy similares.

Aquí está la línea x + y = 3 (a menudo escrita en forma de gradiente / intersección y = -x + 3)

Aquí está el plano x + y + z = 3

Answer 5

Una línea tiene la forma y = mx + c, con dos variables, la variable independiente y y la dependiente.

Dado que una línea divide el plano cartesiano en tres regiones distintas, una de las cuales es en sí misma, también tenemos y> mx + c, y y

Estos forman las ecuaciones requeridas.