¿De cuántas maneras se puede calcular el volumen de un dodecaedro regular con una longitud de borde A? Presente su (s) solución (es).

Aquí hay una manera. Primero ignore A y simplemente use una unidad de 1 pulgada, pie, yarda, metro, a quién le importa. Luego volveremos a colocar la A.

Considere una de las 12 caras. Cada uno forma una pirámide pentagonal al centro del sólido. Si cada pentágono tiene un lado de longitud uno, entonces el área de una cara es:
[matemáticas] \ frac {\ sqrt {25 + 10 \ sqrt5}} {4} [/ matemáticas] [matemáticas] (A) [/ matemáticas]

El radio de esta cara al centro del sólido es:
[matemáticas] \ frac {\ sqrt {250 + 110 \ sqrt5}} {20} [/ matemáticas] [matemáticas] (B) [/ matemáticas]

Entonces, el volumen de una pirámide pentagonal es 1/3 área * altura = [matemáticas] (A) * (B) / 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {7 * \ sqrt5} {48} + \ frac {5} {16} [/ matemáticas]

Multiplique esto por 12 para obtener el volumen completo del dodecaedro:
[matemáticas] \ frac {7 \ sqrt5 + 15} {4} [/ matemáticas]

Si [math] A [/ math] es cualquier otro valor que no sea uno, multiplique este resultado por [math] A ^ 3 [/ math]