Cómo encontrar la altitud de un triángulo equilátero

Hay mucha geometría a considerar aquí y les voy a dar todos los detalles.

Primero, un triángulo equilátero también es equiangular. Como la suma del ángulo interior de cualquier triángulo es 180 °, cada ángulo de un triángulo equilátero es 60 °.

Luego, la definición de un triángulo isósceles es un triángulo con al menos dos lados congruentes. Por lo tanto, un triángulo equilátero también es isósceles y, por lo tanto, todos los teoremas asociados con los triángulos isósceles también se aplican a los triángulos equiláteros.

Ahora, dibuje una bisectriz angular que divida un ángulo de 60 ° en dos ángulos de 30 ° en el lado opuesto. Ahora aplique este teorema: la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles es perpendicular a su base en el punto medio de la base.

Ahora con todo esto en conjunto, concluye que su triángulo equilátero se puede dividir en dos triángulos rectángulos especiales adyacentes de 30–60–90 donde el lado opuesto al ángulo de 60 ° es la altura de su triángulo equilátero.

Aún no hemos terminado.

Ahora debe quedar claro que la hipotenusa de su triángulo rectángulo 30–60–90 es uno de los lados de su triángulo equilátero y el lado opuesto al ángulo de 30 ° es la mitad de esa longitud. Entonces, dejemos que [math] b [/ math] sea igual a la longitud de la hipotenusa, entonces [math] \ frac {1} {2} b [/ math] es la longitud del lado corto. Por lo que aprendió sobre los triángulos rectángulos 30–60–90, sabe que el lado largo, el lado opuesto al ángulo de 60 ° es igual al lado corto por [math] \ sqrt {3} [/ math] y ese es su altura.

  • Por lo tanto, [matemáticas] h = (1/2) b × \ sqrt {3} = (\ sqrt {3} / 2) b [/ matemáticas]

Equilateral : Uno que tiene todos los lados iguales.

(Del latín aequalis -equal y latus – (gen. Lateris) – el lado).

Probablemente no le harán esta pregunta si no asumen que está familiarizado con el Teorema de Pitágoras, por lo tanto

= a² – (a / 2) ² = a² – a² / 4 = 4a² / 4 – a² / 4 = 3a² / 4

Resulta que

h = √ (3a² / 4) = a√3 / 2 ≈ 0,866 * a

Usa el hecho de que un triángulo equilátero es un triángulo isósceles. La bisectriz angular, la bisectriz lateral y la altitud son lo mismo en un vértice donde se encuentran dos lados iguales de un triángulo isósceles. El teorema de Pitágoras te dará la altitud.

Cualquier triángulo tiene 3 alturas. Y esas son longitudes perpendiculares dibujadas desde cada vértice a su lado opuesto … Entonces obtenemos 3 medidas diferentes.

Pero desde entonces, aquí el triángulo dado es un triángulo equilátero. Entonces, las 3 alturas serán iguales. Y esta altura se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras. Como si cada lado del triángulo = una unidad.

Altura² = a² – (a / 2) ² (como perpendicular desde un vértice al lado opuesto es su bisectriz perpendicular).

=> altura = √ {a² – (a² / 4)}

=> altura = √ (3a² / 4)

=> altura = √3a / 2 unidad

Considere un triángulo ABC con cada lado midiendo x unidades.

Si construimos un AD perpendicular desde el vértice A hasta el lado opuesto BC, obtenemos dos triángulos congruentes ABD y ACD según el criterio de RHS.

Esto implica que el ángulo ADB es igual a ADC.

Y dado que la suma de los ángulos ADB y ADC es 180 grados, cada uno de estos sería un ángulo recto.

Usando el teorema de Pitágoras en cualquiera de estos triángulos, obtenemos

AB ^ 2 = AD ^ 2 + BD ^ 2

Entonces x ^ 2 = AD ^ 2 + x ^ 2/4

Simplificando, obtenemos AD = ((3 ^ 1/2) x) / 2

Entonces, la altitud de un triángulo equilátero es sqrt (3) / 2 * x, donde x es el lado del triángulo.

Deje que los lados del triángulo equilátero sean sy la altitud sea a.

Considere el triángulo rectángulo formado por un lado, la altitud y 1/2 s donde la altitud divide la base del triángulo.

Por el teorema de Pitágoras:

s ^ 2 = a ^ 2 + (s / 2) ^ 2

o

a ^ 2 = s ^ 2 – (s / 2) ^ 2

a ^ 2 = s ^ 2 * (1–1 / 4)

a ^ 2 = s ^ 2 * (3/4)

a = sqrt (s ^ 2 (3/4))

a = s * sqrt (3) / 2

Tenga en cuenta que dado un triángulo equilátero con lado = 2

altitud = sqrt (3)

Sabemos que tres lados son iguales. Que el lado del triángulo sea a.

La altura del triángulo comenzará desde uno de los vértices hasta el centro del lado opuesto.

Ahora usando el teorema de Pitágoras,

Cuadrado de hipotenusa = cuadrado de base + cuadrado de altura

Cuadrado de altura = a ^ 2– (a ÷ 2) ^ 2

Por lo tanto, altura = √a ^ 2- (a ÷ 2) ^ 2.

Si el lado del triángulo equilátero es de 2 unidades. la altitud será 3 ^ 0.5 / 2. Mide un lado y multiplica la longitud por 3 ^ 0.5 / 2 para obtener su altitud / altura,

El triángulo equilátero implica que cada ángulo es de 60 grados. Y cualquier mediana es la altitud.

Por lo tanto, sen 60 = altitud / (lado del triángulo equilátero)

Altitud = (raíz3 / 2) de su lado.