Cómo encontrar la solución general en enteros de la ecuación 7x + 11y = 1

Answer 1

[matemáticas] 7x + 11y = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 7x = 1 – 11y [/ matemáticas]

[matemática] \ grande x = \ frac {1-11y} {7} [/ matemática]

Si x tiene que ser un número entero, entonces [math] 1 – 11y \ hspace {0.1cm} [/ math] debe ser un múltiplo de 7, o en otras palabras

[matemáticas] 1 – 11y \ equiv 0 \ hspace {0.2cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 11y \ equiv 1 \ hspace {0.2cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

Como 11 y 7 son relativamente primos, el inverso multiplicativo de 11 definitivamente existe. Podemos encontrarlo fácilmente utilizando el pequeño teorema de Fermat, es decir

[matemáticas] a ^ {p-1} \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} p) [/ math]

[matemáticas] 11 ^ {6} \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 11 ^ {5} .11 \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 4 ^ {5} .11 \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 16.16.4.11 \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 2.2.4.11 \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] 2.11 \ equiv 1 \ hspace {0.1cm} (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

Por lo tanto, 2 es el inverso multiplicativo modular de 11 en este sistema mod 7.

Multiplicando por el inverso multiplicativo modular de 11 (es decir, 2) en ambos lados,

[matemáticas] y \ equiv \ hspace {0.1cm} 2 (mod \ hspace {0.1cm} 7) [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto y = 7k + 2, donde \ hspace {0.1cm} k \ en Z [/ matemáticas]

Sustituyendo este valor de y en la ecuación original, obtenemos

[matemática] \ grande x = \ frac {1-11 (7k + 2)} {7} [/ matemática]

[matemática] \ grande x = \ frac {-21-77k} {7} [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto x = -3 – 11k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto (x, y) = (-3-11k \ hspace {0.1cm}, \ hspace {0.1cm} 7k + 2), k \ en Z \ hspace {0.2cm} \ blacksquare [/ math]

Answer 2

Es posible que desee buscar el lema de Bezout.

Tenga en cuenta que,

[matemáticas] 1 = 2 \ veces 11-3 \ veces 7 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, los valores [matemática] (x, y) = (- 3,2) [/ matemática] satisfacen la ecuación.

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Además, suponga que [math] (a, b) [/ math] son ​​algunos valores que satisfacen la ecuación.

Luego, sumando y restando [matemáticas] 77k [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] k [/ matemáticas] (múltiplo entero del máximo común divisor) [matemáticas], [/ matemáticas]

[matemáticas] 7a + 11b + 77k-77k = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 7 (a + 11k) +11 (b-7k) = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, para cada solución [math] (a, b) \ rightarrow (a + 11k, b-7k) [/ math] también es una solución.

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Usando la solución que supusimos,

[matemáticas] (x, y) = (- 3 + 11k, 2-7k) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 3

7x + 11y = 1

=> 11y = 1-7x

Intentamos sumar o restar 1 de diferentes múltiplos de 7 para que sea igual a los múltiplos de 11 por método de prueba y golpe …

=> 1–7x = 1- 7 * (-3) = 22

=> 11 años = 22

=> y = 2

Entonces, el par ordenado en enteros es x = -3, y = 2 …… (1)

Del mismo modo, podemos encontrar más pares ordenados.

como x = 8, y = -5 …… (2)