Supongo que [math] (a, b) [/ math] denota el máximo divisor común de [math] a [/ math] y [math] b [/ math]. Voy a probar una variante de la hipótesis dada en la pregunta. Voy a demostrar el siguiente teorema.
Teorema: si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b, n [/ matemática] son números naturales tales que para todos [matemática] 0 \ leq i, j \ leq n [/ matemática] tenemos [matemática] (a + i, b + j)> 1 [/ math] luego para [math] n [/ math], [math] min \ {a, b \} \ geq n ^ {1.08n} suficientemente grande. matemáticas]
Prueba: supongo que [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas]. Como [matemática] (a + i, b + j)> 1 [/ matemática] para todos [matemática] 0 \ leq i, j \ leq n [/ matemática] elija números primos [matemática] p_ {ij} [/ matemática ] tal que [matemáticas] p_ {ij} | (a + i, b + j). [/ matemáticas]
Deje que [math] P [/ math] denote el conjunto [math] \ {p_ {ij}: 0 \ leq i, j \ leq n \} [/ math] y para todos los números primos [math] p \ en P [ / math] let [math] e_p = | \ {(i, j): p_ {ij} = p \} | [/ math] donde [math] | A | [/ math] denota el número de elementos en el conjunto [math ] A [/ matemáticas]. Tenemos [math] \ sum_ {p \ in P} e_p = (n + 1) ^ 2. [/ Math]
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Afirmo que si [math] p \ en P [/ math] y [math] p \ leq n [/ math] entonces [math] e_p \ leq (\ frac {n} {p} +1) ^ 2 [/ matemática] y si [matemática] p \ en P [/ matemática] y [matemática] p> n [/ matemática] entonces [matemática] e_p = 1. [/ matemática]
Si [math] p \ en P [/ math] entonces para algunos [math] 0 \ leq i, j \ leq n [/ math] tenemos [math] p_ {ij} = p [/ math]. Si [matemática] p_ {i_1j_1} = p [/ matemática] entonces como [matemática] p | (a + i, b + j) [/ matemática] y [matemática] p | (a + i_1, b + j_1) [ / matemáticas] tenemos [matemáticas] p | ((a + i_1) – (a + i)) = (i_1-i) [/ matemáticas] y [matemáticas] p | ((b + j_1) – (b + j )) = (j_1-j) [/ math].
Por lo tanto, [matemática] \ {(i_1, j_1): 0 \ leq i_1 \ leq n, 0 \ leq j_1 \ leq n, p_ {i_1j_1} = p \} \ subset \ {(i_1, j_1): 0 \ leq i_1 \ leq n, 0 \ leq j_1 \ leq n, i_1 \ equiv i \ mod p, j_1 \ equiv j \ mod p \}. [/ math]
Es un ejercicio fácil demostrar que [matemáticas] | \ {(i_1, j_1): 0 \ leq i_1 \ leq n, 0 \ leq j_1 \ leq n, i_1 \ equiv i \ mod p, j_1 \ equiv j \ mod p \} | \ leq (\ frac {n} {p} +1) ^ 2 [/ math] if [math] p \ leq n [/ math] y [math] | \ {(i_1, j_1): 0 \ leq i_1 \ leq n, 0 \ leq j_1 \ leq n, i_1 \ equiv i \ mod p, j_1 \ equiv j \ mod p \} | = 1 [/ math] if [math] p> n [/ math] .
Por lo tanto, [math] e_p = | \ {(i, j): p_ {ij} = p \} | \ leq (\ frac {n} {p} +1) ^ 2 [/ math] if [math] p \ leq n [/ math] y [math] e_p = 1 [/ math] if [math] p> n [/ math].
Ahora como [math] \ sum_ {p \ in P} e_p = (n + 1) ^ 2 [/ math] del reclamo que tenemos
[matemáticas] \ sum_ {p \ leq n, \ text {p prime}} (\ frac {n} {p} +1) ^ 2 + \ sum_ {p> n, p \ en P} 1 \ geq (n +1) ^ 2 \ geq n ^ 2 [/ math] que implica
[matemáticas] \ sum_ {p \ leq n, \ text {p prime}} (\ frac {n ^ 2} {p ^ 2} + \ frac {2n} {p} +1) + \ sum_ {p> n , p \ in P} 1 \ geq n ^ 2 [/ math] que implica
[matemáticas] n ^ 2 \ sum _ {\ text {p prime}} \ frac {1} {p ^ 2} + 2n \ sum_ {p \ leq n, \ text {p prime}} \ frac {1} {p } + \ sum_ {p \ leq n, \ text {p prime}} 1+ \ sum_ {p \ leq n ^ 2, \ text {p prime}} 1+ \ sum_ {p \ en P, p \ geq n ^ 2} 1 \ geq n ^ 2. [/ Matemáticas]
Como [math] \ sum _ {\ text {p prime}} \ frac {1} {p ^ 2} \ leq 0.458 [/ math] (Ver la suma del recíproco de los primos al cuadrado), [math] 2n \ sum_ { p \ leq n, \ text {p prime}} \ frac {1} {p} = O (n \ log \ log n) [/ math] (Un resultado estándar en teoría analítica de números) y [math] \ sum_ { p \ leq n ^ 2, \ text {p prime}} 1+ \ sum_ {p \ geq n ^ 2, \ text {p prime}} 1 = O (\ frac {n ^ 2} {\ log n}) [/ math] (Una consecuencia del teorema de números primos – Wikipedia) tenemos [math] 0.458n ^ 2 + O (\ frac {n ^ 2} {\ log n}) + \ sum_ {p \ geq n ^ 2, p \ in P} 1 \ geq n ^ 2 [/ math].
Por lo tanto, para [math] n [/ math] suficientemente grande tenemos [math] \ sum_ {p \ geq n ^ 2, p \ in P} 1 \ geq 0.541n ^ 2. [/ Math]
Pero [matemáticas] \ sum_ {p \ geq n ^ 2, p \ in P} 1 = \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ sum_ {0 \ leq j \ leq n, p_ {ij} \ geq n ^ 2} 1 = \ sum_ {j = 0} ^ {n} \ sum_ {0 \ leq i \ leq n, p_ {ij} \ geq n ^ 2} 1 \ geq 0.541n ^ 2 [/ math].
Desde el principio del casillero podemos concluir que existe una [matemática] 0 \ leq i_1 \ leq n [/ matemática] y [matemática] 0 \ leq j_1 \ leq n [/ matemática] tal que [matemática] \ sum_ {0 \ leq j \ leq n, p_ {i_1j} \ geq n ^ 2} 1 \ geq \ frac {0.541n ^ 2} {n + 1} [/ math] y [math] \ sum_ {0 \ leq i \ leq n, p_ {ij_1} \ geq n ^ 2} 1 \ geq \ frac {0.541n ^ 2} {n + 1} [/ math]. Para [math] n [/ math] suficientemente grande, [math] \ frac {0.541n ^ 2} {n + 1} \ geq 0.5405n [/ math].
Pero como cada primo [matemático] p_ {i_1j} \ geq n ^ 2 [/ matemático] para [matemático] 0 \ leq j \ leq n [/ matemático] divide [matemático] a + i_1 [/ matemático] y cada primo [ matemática] p_ {ij_2} \ geq n ^ 2 [/ matemática] para [matemática] 0 \ leq i \ leq n [/ matemática] divide [matemática] b + j_2 [/ matemática] tenemos [matemática] \ prod_ {0 \ leq j \ leq n, p_ {i_1j} \ geq n ^ 2} p_ {i_1j} | a + i_1 [/ matemática], [matemática] \ prod_ {0 \ leq i \ leq n, p_ {ij_1} \ geq n ^ 2} p_ {ij_1} | b + j_1. [/ math]
Por lo tanto, [matemáticas] a + n \ geq a + i_1 \ geq \ prod_ {p_ {i_1j} \ geq n ^ 2,0 \ leq j \ leq n} p_ {i_1j} \ geq (n ^ 2) ^ {\ sum_ {j \ leq n, p_ {i_1j} \ geq n ^ 2} 1} \ geq (n ^ 2) ^ {0.5405n} \ geq n ^ {1.081n}. [/ math] Por lo tanto [math] a \ geq n ^ {1.081n} -n [/ matemáticas]. Por lo tanto, para [math] n [/ math] suficientemente grande, [math] a \ geq n ^ {1.08n}. [/ Math] De manera similar, podemos probar [math] b \ geq n ^ {1.08n} [/ math] , que completa la prueba del teorema.
Nota: Usando los mismos argumentos podemos probar la siguiente declaración. Deje [math] C = \ sum _ {\ text {p prime}} \ frac {1} {p ^ 2}. [/ Math]
Teorema: si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b, n [/ matemática] son números naturales tales que para todos [matemática] 0 \ leq i, j \ leq n [/ matemática] tenemos [matemática] (a + i, b + j)> 1 [/ math] entonces por cada [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe un número natural [math] N (\ epsilon) [/ math] tal que si [ math] n \ geq N (\ epsilon) [/ math] luego [math] min \ {a, b \} \ geq n ^ {(2-2C- \ epsilon) n}. [/ math]
Tenga en cuenta que [matemáticas] C = 0.4522474 … [/ matemáticas] (Ver la suma del recíproco de los primos al cuadrado).