¿Se puede probar que [math] \ frac {(3n)!} {2 ^ n 3 ^ n} [/ math] es siempre un número entero?

Answer 1

Para primo [math] p [/ math] y entero positivo [math] m [/ math], deje que [math] e_p (m) [/ math] denote la potencia más alta de [math] p [/ math] dividiendo [math ] m [/ matemáticas]. Entonces la fórmula de de Polignac es el resultado

[matemáticas] e_p (n!) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ dfrac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor [/ math].

Así

[matemáticas] e_2 \ big ((3n)! \ big) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ dfrac {3n} {2 ^ k} \ right \ rfloor \ ge \ left \ lfloor \ dfrac {3n} {2} \ right \ rfloor \ ge n [/ math],

[matemáticas] e_3 \ big ((3n)! \ big) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ dfrac {3n} {3 ^ k} \ right \ rfloor \ ge \ left \ lfloor \ dfrac {3n} {3} \ right \ rfloor \ ge n [/ math].

Por lo tanto, [matemáticas] 2 ^ n \ mid (3n)! [/ Matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ n \ mid (3n)! [/ Matemáticas], y desde [matemáticas] \ gcd (2 ^ n, 3 ^ n ) = 1 [/ math], [math] (2 ^ n \ cdot 3 ^ n) \ mid (3n)! [/ Math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

---

Observación. Si no sabe, o no desea utilizar la fórmula de Polignac , puede probar una prueba con inducción matemática .

Actualizar. Para aquellos que desean ver también una prueba usando inducción matemática , tenga en cuenta que deseamos mostrar que [matemáticas] 6 ^ n \ mid (3n)! [/ Matemáticas] para todas [matemáticas] n \ in \ mathbb N [/ matemáticas ]

El caso base es [matemática] n = 1 [/ matemática], y se verifica fácilmente. Suponga que [math] 6 ^ n \ mid (3n)! [/ Math] para algunos [math] n \ in \ mathbb N [/ math]. ¡Ahora [matemáticas] \ big (3 (n + 1) \ big)! = (3n + 3)! = (3n + 3) (3n + 2) (3n + 1) \ cdot (3n)! [/ Math] y [math] 6 \ mid (3n + 3) (3n + 2) (3n + 1) [/ math] (más generalmente, [math] k! [/ math] divide el producto de cualquier [math] k [/ math] enteros consecutivos ). Por lo tanto, [matemáticas] 6 ^ {n + 1} \ mid (3n + 3)! [/ Matemáticas], y la prueba se completa por inducción matemática . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Sí, esta afirmación es cierta y puede demostrarse con relativa facilidad.

Uno podría resolver este problema agrupando términos (tomando un factor de dos de cada uno de [matemáticas] 2, 4, 6, … 2n [/ matemáticas] y un factor de tres de cada uno de [matemáticas] 3, 6, 9, … 3n [/ math]), pero creo que la prueba más obviamente rigurosa es la inducción. El método de agrupación es más intuitivo en general, pero un observador podría preguntar cómo manejar los elementos que aparecen en las dos listas anteriores, así como en algunos otros casos extremos. Como resultado (y también porque el método de agrupación también se ha dado en otras respuestas), presentaré una solución por inducción.

Para cualquier lector que no esté familiarizado, la inducción es un método de prueba que puede ser útil cuando se demuestra que una declaración es verdadera para todas las entradas que satisfacen una determinada condición. (En este caso, buscamos probar que la afirmación dada es verdadera para todos los enteros positivos [matemática] n [/ matemática]). El primer paso es probar la afirmación deseada para un “caso base”, generalmente un caso trivial del cual otro se pueden derivar casos (en este problema, mi caso base será [math] n = 1 [/ math]).

Una vez comprobado el caso base, debe completarse el paso inductivo, que suele ser mucho más difícil. El paso inductivo es la prueba de que, dado que la afirmación es verdadera para cierta [matemática] n [/ matemática], debe ser cierta para otro valor (o valores) que satisfaga una determinada condición basada en [matemática] n [/ matemática ] En base a este paso, uno debería ser capaz de demostrar que todas las entradas posibles son verdaderas utilizando el caso base y la transición dada por el paso inductivo. Mi paso inductivo implicará una prueba de que si la afirmación es verdadera para [matemáticas] n [/ matemáticas], debe ser verdadera para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas].

Comenzaré con el caso base. Si [matemática] n = 1 [/ matemática], [matemática] \ frac {(3n)!} {2 ^ n3 ^ n} = \ frac {3!} {2 \ cdot 3} = \ frac {6} { 6} = 1 [/ matemáticas]. Claramente, uno es un número entero, lo que demuestra el caso base.

Ahora, probamos el paso inductivo. Supongamos que [matemáticas] n = m [/ matemáticas]. ¡Buscamos demostrar que si [math] \ frac {(3m)!} {2 ^ m3 ^ m} [/ math] es un número entero, [math] \ frac {(3 (m + 1))!} {2 ^ {m + 1} 3 ^ {m + 1}} [/ math] también es un número entero.

Un número entero multiplicado por un número entero es siempre un número entero, por lo que mostramos que el cociente cuando el segundo número se divide por el primero es un número entero. Este cociente es:

[matemáticas] \ frac {\ frac {(3 (m + 1))!} {(3m)!}} {\ frac {2 ^ {m + 1} 3 ^ {m + 1}} {2 ^ m3 ^ m}} = \ frac {(3m + 1) (3m + 2) (3m + 3)} {6}. [/ matemáticas]

Debido a que uno de cada tres números consecutivos es divisible por tres, uno de los tres números consecutivos en el numerador es divisible por tres. Del mismo modo, con uno de cada dos números consecutivos divisibles por tres, al menos uno (o posiblemente dos) de los tres números consecutivos en el numerador debe ser divisible por dos. Por lo tanto, hay un factor de tres y un factor de dos en el numerador, por lo que el numerador es divisible por seis, lo que demuestra la declaración deseada.

Hemos demostrado que la afirmación es verdadera para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] y que si es cierta para algunas [matemáticas] n [/ matemáticas], es verdadera para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] . Al aplicar la segunda declaración una y otra vez, podemos demostrar que la declaración es verdadera para cualquier número entero positivo [math] n [/ math], y hemos terminado.

Answer 3

Siento que la mejor manera de hacer esto es visualizarlo.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(3n)!} {2 ^ n3 ^ n} = \ frac {2 \ cdot 3 \ ldots \ cdot (3n-1) \ cdot 3n} {2 ^ n \ cdot3 ^ n} [/matemáticas]. Por lo tanto, se puede ver que para todos los enteros, [matemática] n [/ matemática], el denominador se “cancelará”, lo que resulta en un entero.

Se podría decir esto, ya que [math] (3n)! [/ Math] siempre será divisible por todos los números naturales que preceden a [math] 3n [/ math], con [math] (3n)! [/ Math] por lo tanto es divisible por [matemática] 3 ^ {n} 2 ^ {n} [/ matemática], ya que habrá “al menos” [matemática] n [/ matemática] factores de “2” y “3”, y [matemática] 2 ^ {n} \ cdot3 ^ {n} \ leq (3n)! [/matemáticas]

Answer 4

Si.

Para que sea entero, ¡el 3n! tiene que ser divisible por 2 ^ n3 ^ n.

Entonces, ¡tenemos que tener 2 ^ n3 ^ n presente en el 3n!

Lo que significa que necesitamos al menos un número total de “2” yn número de “3” en el 3n.

Y aquí están. Habrá un múltiplo de 2, en forma de 2k, en cada 2 números. ¡Tenemos 3n números multiplicados en 3n! ¡Hay 3n / 2 número de 2k en el 3n! (eso es mínimo 3n / 2 -1/2 número de 2k si n es un número impar). Por lo tanto, hay más de n número de 2k, por lo tanto, hay n número de 2k en el 3n. ¡Podemos formar un 2 ^ n en 3n!

WLOG, tenemos un número n de 3k en la secuencia 3n. Entonces, ¡tenemos 3 ^ n en el 3n! también.

Entonces, 3n! se puede dividir entre 2 ^ n3 ^ n, 3n! / 2 ^ n3 ^ n siempre es un número entero.

Answer 5

Bueno, uno puede con algunos conocimientos de divisibilidad.

Vea, si muestra [matemática] 2n [/ matemática] enteros consecutivos, encontrará al menos [matemática] n [/ matemática] factores de [matemática] 2 [/ matemática] en ella, porque son alternativamente pares e impares, [matemáticas] n [/ matemáticas] son ​​impares y [matemáticas] n [/ matemáticas] son ​​pares. Lo mismo para una muestra de [matemáticas] 3n [/ matemáticas] enteros consecutivos, donde tiene al menos factores [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Además, [math] 3n \ geq 2n [/ math] por lo que también tiene al menos [math] n [/ math] factores de [math] 2 [/ math], lo que equivale a tener un factor de [math] 2 ^ n [/ math] y un factor de [math] 3 ^ n [/ math], nuevamente, equivalente a uno de [math] 2 ^ n3 ^ n [/ math].

Con la teoría básica de números, está claro que si un número entero [matemáticas] b [/ matemáticas] tiene un factor [matemáticas] a [/ matemáticas], es cierto que [matemáticas] a | b [/ math]: [math] a [/ math] divide [math] b [/ math].

[matemática] (3n)! [/ matemática] multiplica [matemática] 3n [/ matemática] números consecutivos, lo que significa que es divisible por [matemática] 2 ^ n3 ^ n [/ matemática].

Decimos que un entero divide a otro cuando su cociente también es un entero, [math] QED [/ math].

Answer 6

Si [math] \ displaystyle \ frac {(3n)!} {2 ^ n3 ^ n} [/ math] es un número entero, entonces también lo es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(3n + 3)!} {2 ^ {n + 1} 3 ^ {n + 1}} = \ frac {(3n)!} {2 ^ n3 ^ n} \ frac { (3n + 1) (3n + 2) (3n + 3)} {2 \ cdot 3} = \ frac {(3n)!} {2 ^ n3 ^ n} \ frac {(n + 1) (3n + 1 ) (3n + 2)} {2} [/ matemáticas]

porque [matemáticas] (3n + 1) (3n + 2) [/ matemáticas] es par.

Como [math] \ frac {0!} {2 ^ 03 ^ 0} = 1 [/ math] es un número entero, concluimos por inducción que

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ forall n \ in \ mathbb N: 2 ^ n3 ^ n \ vert (3n)!} \ tag * {} [/ math]

Answer 7

[matemáticas] \ begin {multline *} (3n)! = (3 \ times 6 \ times 9 \ times \ cdots \ times 3n) \ times \\ (1 \ times 2 \ times 4 \ times 5 \ times 7 \ times 8 \ times \ cdots \ times (3n-2) \ veces (3n-1)). \ end {multline *} [/ math]

El primer paréntesis contiene [matemática] n [/ matemática] múltiplos de [matemática] 3 [/ matemática], por lo que es divisible por [matemática] 3 ^ n [/ matemática]. El segundo paréntesis contiene [matemática] n [/ matemática] números pares y [matemática] n [/ matemática] números impares, por lo que es divisible por [matemática] 2 ^ n [/ matemática]. Por lo tanto, [math] (3n)! [/ Math] es divisible por [math] 2 ^ n \, 3 ^ n [/ math].

Answer 8

Esto es lo mismo que [math] \ frac {(3n)!} {3! ^ N} [/ math], que es un coeficiente multinomial. Es la cantidad de formas de dividir un grupo de elementos [matemáticos] 3n [/ matemáticos] en [matemáticos] n [/ matemáticos] muchos tripletes etiquetados (Grupo 1, Grupo 2, hasta el Grupo [matemático] n [/ matemático] , cada uno con 3 miembros). Por lo tanto, debe ser un número entero.

Answer 9

Si. (3n)! es el producto de 3, 6, 9, …, 3n, así como algunos otros términos. Hay n términos en esta lista y todos ellos son divisibles por 3, entonces (3n). / 3 ^ n es un número entero. ¡Puedes usar el mismo argumento para mostrar (3n)! también es divisible por 2 ^ n, ya que hay al menos tantos dos en el producto como tres.

Editar: Para aclarar un poco mi respuesta, los “otros términos” en la primera oración son los que no son divisibles por 3 – 1, 2, 4, 5, 7, 8, …, 3n – 1.

Answer 10

Tienes 3n cartas, escribes los números del 1 al n en ellas, cada número en 3 cartas. Suponga que no puede diferenciar entre las tarjetas con los mismos números. ¿Cuántos pedidos diferentes son posibles para sus tarjetas?

Como solución a una pregunta de conteo, definitivamente será un número entero.

Si lo calcula, será (3n)! / (3!) ⁿ = (3n!) / (2ⁿ3ⁿ)

entonces la fracción en cuestión debe ser un número entero.

Answer 11

Si tuviera que escribir los números del 1 al 3n pero no multiplicarlos, la mitad son pares. Por lo tanto, hay aproximadamente 1.5n números pares en la lista. ¡Dado que 2 es un factor de todos ellos, 2 ^ n divide (3n)! desde 1n <1.5n. Para 3, un tercio de los números son múltiplos de 3, es decir, n de ellos. La misma lógica

Answer 12

Una solución simple:

(3n)! contiene los factores 3, 6, 9, … hasta 3n -3, 3n.

Hay n de estos, cada uno es un múltiplo de 3.

Y dado que 2n <3n también contiene 2, 4, 6, 8, ... 2n (y más ...) es decir, más de n múltiplos de 2.

Por lo tanto, la división producirá un número entero.