Esto se llama [math] 2 [/ math] -valoración adic de [math] n [/ math] o simplemente [math] 2 [/ math] -valoration. A menudo se denota [math] v_2 (n) [/ math] o [math] \ nu_2 (n) [/ math] o [math] \ text {val} _2 (n) [/ math] o algo por el estilo.
Es una función extremadamente importante en la teoría de números, especialmente cuando se generaliza a otros números primos [matemáticas] p [/ matemáticas]:
[matemáticas] v_p (n) = \ max \ {k \, \ mid \, p ^ k \ text {divide}} \ \ [matemáticas]
Dos propiedades cruciales de estas funciones son:
- Si [math] p [/ math] es un número primo, ¿cómo mostrarías que existe un primo [math] q [/ math] tal que [math] q [/ math] no divide [math] n ^ pp [/ math] para cualquier número entero [math] n [/ math]?
- ¿Para qué valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] x (x-12) [/ matemáticas] un cuadrado perfecto? ¿Y para qué valores de [matemáticas] y [/ matemáticas] es [matemáticas] y (y-16) [/ matemáticas] un cuadrado perfecto? ¿Cómo?
- ¿Cuál es el resto cuando 347 ^ 347 se divide por 100?
- ¿Cuál es el resto cuando [math] 2017 ^ {2017} [/ math] se divide por 100?
- ¿Cuál es el mayor número entero que divide 101 ^ 100 – 1?
- [matemáticas] v_p (mn) = v_p (m) + v_p (n) [/ matemáticas]
- [matemáticas] v_p (m + n) \ geq \ min (v_p (m), v_p (n)) [/ matemáticas]
La primera propiedad expresa el hecho de que un producto es divisible por [math] p [/ math] tantas veces como cada uno de los factores, juntos. La segunda propiedad dice que una suma es divisible por [matemáticas] p [/ matemáticas] al menos tantas veces como cada sumando es. De hecho, aún más es cierto: si las valoraciones [matemáticas] p [/ matemáticas] de [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] son diferentes, entonces las [matemáticas] p [/ matemáticas ] -la valoración de la suma es exactamente la menor de las valoraciones de los comandos [math] p [/ math]. Solo cuando las valoraciones coinciden podemos tener una “interferencia constructiva” y encontrar más [math] p [/ math] ‘s en la suma de las que había en cada una de las sumas.
La valoración adica [math] p [/ math] se puede extender a números racionales:
[matemáticas] \ displaystyle v_p \ left (\ frac {a} {b} \ right) = v_p (a) -v_p (b) [/ math]
Esto dice, por ejemplo, que mientras la evaluación [matemática] 2 [/ matemática] de [matemática] 24 [/ matemática] es [matemática] 3 [/ matemática], la evaluación [matemática] 2 [/ matemática] de [matemáticas] 1/24 [/ matemáticas] es [matemáticas] -3 [/ matemáticas]. Las mismas propiedades de antes todavía se mantienen para los números racionales.
Finalmente, podemos elegir alguna constante [matemática] c [/ matemática] entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] y establecer
[matemáticas] | x | _p = c ^ {v_p (x)} [/ matemáticas]
La razón por la que hacemos algo extraño como esto es que esta función, llamada valor absoluto adico [math] p [/ math], se comporta de manera muy similar al valor absoluto ordinario [math] | x | [/ math]. Crucialmente, satisface la desigualdad del triángulo
[matemáticas] | x + y | _p \ leq | x | _p + | y | _p [/ matemáticas]
lo que significa que podemos usarlo para definir una métrica y completar los números racionales relativos a esa métrica. Al igual que el absoluto habitual nos permite crear los números reales a partir de los racionales, esta métrica nos permite definir los números matemáticos [math] p [/ math] [math] \ mathbb {Q} _p [/ math]. Son de vital importancia para la teoría de números moderna, y eso es un eufemismo.
Pero incluso antes de entrar en todo esto, puede divertirse, y hacer un buen uso de, las funciones de valoración adica [math] p [/ math] [math] v_p [/ math], incluida su [math] v_2 [ /matemáticas]. Existen innumerables problemas en la teoría de números elementales y no tan elementales que pueden resolverse elegantemente utilizando valoraciones.