¿Cuál es el último dígito de [matemáticas] 3 ^ {10 ^ {200}} [/ matemáticas]?

Answer 1

Entonces, como lo hice en una pregunta anterior, encontraré algún tipo de patrón para esto:

[matemáticas] 3 ^ 0 = [/ matemáticas] 1

[matemáticas] 3 ^ 1 = [/ matemáticas] 3

[matemáticas] 3 ^ 2 = [/ matemáticas] 9

[matemáticas] 3 ^ 3 = [/ matemáticas] 2 7

[matemáticas] 3 ^ 4 = [/ matemáticas] 8 1

[matemáticas] 3 ^ 5 = [/ matemáticas] 24 3

[matemáticas] 3 ^ 6 = [/ matemáticas] 72 9

[matemáticas] 3 ^ 7 = [/ matemáticas] 218 7

.

.

.

Y oficialmente, solo estoy asumiendo que esto será un patrón.

• De esto, he sacado que el último dígito de [math] 3 ^ n [/ math] es:
• 1 si n% 4 = 0
• 3 si n% 4 = 1
• 9 si n% 4 = 2
• y 7 de lo contrario.

Entonces tenemos [matemáticas] 3 ^ {10 ^ {200}} [/ matemáticas].

• 10% 4 = 2
• 100% 4 = 0
• 1000% 4 = 0
• A partir de estos hechos, solo 10 tendrán un resto distinto de 0 como

10.0 / 4.0 = 2.5
100.0 / 4.0 = 25
1000.0 / 4.0 = 250

• Etcétera
• Como n% 4 = 0, nuestro resto (y, por lo tanto, el último dígito) será 1 .

Answer 2

(3 ^ 10) ^ 200 = 3 ^ (10 * 200) = 3 ^ 2000

Ahora, veamos los poderes de 3.

3 ^ 1 = 3

3 ^ 2 = 9

3 ^ 3 = 2 7

3 ^ 4 = 8 1

3 ^ 5 = 24 3

3 ^ 6 = 72 9

3 ^ 7 = 218 7

3 ^ 8 = 656 1

Si observa el ciclo de potencia para 3, parece surgir un patrón en el lugar de las unidades / unidades. Los dígitos se repiten después de cada 4a potencia y en el orden de 3, 9, 7, 1. Así que ahora, a medida que el ciclo se repite después de cada 4 potencias, debe dividir 2000 por 4.

Como 2000 es divisible por 4, no quedaría ningún resto. Eso va con 4, 8, 12, 16, …, 1996, 2000, 2004, y así sucesivamente.

Ahora observe las unidades ubicadas para la potencia de 4 y 8 en la serie anterior. Es 1. Por lo tanto, el lugar de las unidades para la potencia número 2000 también será 1.

---

Dato curioso: al dividir el poder por 4, si te queda algo de resto, el lugar de las unidades será el siguiente:

Valor restante ‘1’ = valor posicional de las unidades ‘3’.

Valor restante ‘2’ = valor posicional de las unidades ‘9’.

Valor restante ‘3’ = valor posicional de las unidades ‘7’.

¡Paz! 🙂

Answer 3

3 * 3 = 9, 9 * 3 = 27, 7 * 3 = 21, 1 * 3 = 3

Nuestros candidatos son 1, 3, 9, 7. Estos corresponden a 3 ^ k, 3 ^ k + 1, 3 ^ k + 2 y 3 ^ k + 3, donde k es un múltiplo de 4. Entonces la pregunta es ahora , ¿cuál es el resto cuando 10 ^ 200 se divide por 4. 10 ^ 200 = 100 ^ 100 y 100 mod 4 = 0, entonces 10 ^ 200 mod 4 = 0 para que el último dígito sea un 1.

Answer 4

[matemática] 3 ^ 2 [/ matemática] = [matemática] 9 [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] -1 [/ matemática] [matemática] mod [/ matemática] [matemática] 10 [ /matemáticas]

entonces [matemática] 3 ^ {10 ^ {200}} [/ matemática] = [matemática] 9 ^ {5 ^ {200}} [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] -1 ^ { 5 ^ {200}} [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática] [matemática] mod [/ matemática] [matemática] 10 [/ matemática]

Entonces, el último dígito de [matemáticas] 3 ^ {10 ^ {200}} [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

Answer 5

Gracias por el A2A!

Mirando la potencia de 3, el último ciclo de dígitos:

[matemáticas] 3 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 1 = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 3 = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 4 = 81 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 5 = 243 [/ matemáticas]

…

Es fácil demostrar por inducción que el patrón debe continuar.

El último dígito de [math] 3 ^ x [/ math] es el último dígito de [math] 3 ^ {x \ mod {4}} [/ math].

[matemáticas] 10 ^ {200} \ mod {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 ^ {200} -4 \ left \ lfloor \ dfrac {10 ^ {200}} {4} \ right \ rfloor [/ math]

4 entra en [matemáticas] 10 ^ {200} [/ matemáticas] de manera uniforme, entonces:

[matemáticas] 10 ^ {200} -10 ^ {200} [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 [/ matemáticas]

Entonces, el último dígito es el último dígito de [matemáticas] 3 ^ 0 [/ matemáticas], por lo que la respuesta es 1.

Answer 6

Es lo suficientemente simple.

Como aquí vemos que 10 ^ 200 contiene 100 y 4 divide 100.

Entonces podemos decir que 10 ^ 200 se pueden escribir en la forma 4 * n.

Ahora se convierte a (3 ^ (4 * n)) o

(81 ^ n) . Tiene su último dígito 1, por lo que cualquier potencia que aumentemos nos dará 1.

Entonces el último dígito de la expresión es 1.

Answer 7

Si comienzas a mirar el último dígito de potencias de 3, comienzas a notar un patrón:

• [matemática] 3 ^ 0 \ Rightarrow 1 [/ matemática]
• [matemáticas] 3 ^ 1 \ Rightarrow 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 ^ 2 \ Rightarrow 9 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 ^ 3 \ Rightarrow 7 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 ^ 4 \ Rightarrow 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 ^ 5 \ Rightarrow 3 [/ matemáticas]

Ciclo cada 4 potencias de 4. Cada potencia de 4 con divisible exponencial por 4 tiene el último dígito 1. [matemática] 10 ^ {200} \ equiv 100 ^ {100} \ equiv 0 ^ {100} \ equiv 0 \ pmod 4 [/ math], lo que significa que el exponencial de [math] 3 ^ {{10} ^ {200}} [/ math] es divisible por 4. Entonces, el último dígito de [math] 3 ^ {{10} ^ { 200}} [/ math] es [math] 1 [/ math];

Answer 8

Tenga en cuenta que 3 ^ 4 = 81, y 10 ^ 200 es divisible por 4. Por lo tanto, esta es una potencia de 81. Cualquier potencia de un valor que termina en 1 termina en 1 (ya que el último dígito de un producto solo depende de últimos dígitos de las entradas, y un producto de 1s es 1), por lo que el último dígito es 1.

Answer 9

[matemáticas] \ begin {align}
10 ^ {200} & = 4 \ veces5 ^ 210 ^ {198} \\
3 ^ {10 ^ {200}} & = 3 ^ {4 \ times5 ^ 210 ^ {198}}
\\ & = 81 ^ {5 ^ 210 ^ {198}}
\\ & = (80 + 1) ^ {\ text {something}}
\\ & = 80 \ times (\ text {algo más}) + 1
\ end {align} [/ math]

Entonces el último dígito es [matemática] 1 [/ matemática].

Answer 10

1)

Esto se debe a que el exponente 10 ^ 200 es divisible por 4. El último dígito se repite con el período de 4, por lo tanto, el último dígito de 3 ^ (10 ^ 200) es el mismo que el último dígito de 3 ^ 0, que es 1.

Answer 11

10 ^ 200 = 2,000

LD (3 ^ n) = {3,9,7,1, 3971,…}

LD (3 ^ 4k, k, ∈N) = 1

4 | 2000 → LD {3 ^ 10 ^ 200} = 1