X e y son dos números naturales, si x ^ 2 + y ^ 2 es divisible por 21, ¿cuáles son los restos cuando x e y se dividen por 21 respectivamente?

Answer 1

Teorema. Suponga que [math] q [/ math] es un primo de la forma [math] 4k + 3 [/ math]. Si [math] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math], entonces [math] q \ mid a [/ math] y [math] q \ mid b [/ math].

Este es un resultado bien conocido, pero daré una breve prueba de todos modos.

Prueba . Supongamos, a modo de contradicción , que [math] q \ nmid a [/ math]. Entonces [math] \ gcd (a, q) = 1 [/ math], entonces existe [math] \ overline {a} [/ math] tal que [math] a \ cdot \ overline {a} \ equiv 1 \ pmod {q} [/ math]. Pero luego [matemática] q \ mid \ big (\ overline {a} \ big) ^ 2 \ cdot (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math], y por lo tanto también divide [math] 1 + c ^ 2 [ / math], donde [math] c = \ overline {a} \ cdot b [/ math]. Esto, sin embargo, es imposible; vea mi respuesta a ¿Cómo pruebo que (49 + 56 (n² + 1)) nunca es un cuadrado perfecto?

Por lo tanto, [math] q \ mid a [/ math], de modo que [math] q \ mid a ^ 2 [/ math] y, por lo tanto, [math] q \ mid b ^ 2 [/ math] [math] ([/ matemática] ya que [matemática] q \ mid (a ^ 2 + b ^ 2)) [/ matemática]. Entonces [matemáticas] q \ mid b [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

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Si [matemáticas] 21 \ mid (x ^ 2 + y ^ 2) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 3 \ mid (x ^ 2 + y ^ 2) [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 \ mid (x ^ 2 + y ^ 2) [/ matemáticas]. Por lo tanto, tanto [matemática] 3 [/ matemática] como [matemática] 7 [/ matemática] dividen tanto [matemática] x [/ matemática] como [matemática] y [/ matemática], es decir, [matemática] 21 [/ matemática] divide tanto [math] x [/ math] como [math] y [/ math]. Los restantes son ambos [matemática] 0 [/ matemática].

En términos más generales, este sería el caso cuando [math] n \ mid (x ^ 2 + y ^ 2) [/ math] y [math] n [/ math] es un producto de números primos, cada uno de los cuales tiene la forma [ matemáticas] 4k + 3 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Dado que x² + y² es divisible por 21, es divisible por 3. Sea x = 3a + b y y = 3c + d con byd menor que 3. Entonces

x² + y² = (3a + b) ² + (3c + d) ² = 9a² + 9c² + 6ab + 6cd + b² + d²

Entonces, si 3 divide x² + y², entonces 3 divide b² + d². Pero b² + d² solo es divisible por 3 si b y d son divisibles por 3 y, por lo tanto, también lo son x e y.

Dado que x² + y² es divisible por 21, entonces es divisible por 7. Sea x = 7a + by e = 7c + d con b y d menos que 7. Entonces

x² + y² = (7a + b) ² + (7c + d) ² = 49a² + 49c² + 14ab + 14cd + b² + d².

Entonces, si 7 divide x² + y², entonces 7 divide b² + d². Los restos cuando un cuadrado es divisible por 7 están restringidos a la lista 0, 1, 2, 4. Dado que ningún par de estos números se suman a 0 o 7, excepto 0 y 0, se deduce que 7 divide cada uno de byd y de ahí que cada una de x e y.

Por lo tanto, 21 divide tanto x como y.

Answer 3

En primer lugar, quiero determinar si -1 es un cuadrado, módulo 21.

Esto significa que debe ser un módulo cuadrado 3 y un módulo 7.

Sin embargo, el módulo 3, -1 (que es equivalente a 2) no es un cuadrado.

Esto significa que -1 no es un módulo cuadrado 21 y, por lo tanto, si tiene un cuadrado x, entonces 21-x no es un cuadrado.

Entonces, esto deja solo el caso en el que x ^ 2 e y ^ 2 son ambos múltiplos de 21. Y dado que 21 está libre de cuadrados, tanto x como y deben ser múltiplos de 21.

¿Algo mal en el razonamiento anterior?

Además de eso, dando más pruebas de que -1 no es un módulo 21 cuadrado, podemos verificar el símbolo Legendre del módulo 7. Y, de hecho, ese símbolo es -1, lo que demuestra que el número no es un módulo cuadrado 7, así tampoco el módulo 21. El término correcto es residuo cuadrático, sin embargo, estoy más en el lado práctico que en el lado teórico, así que uso un poco el abuso del lenguaje y digo módulo cuadrado perfecto [lo que sea].