Cómo demostrar que [matemática] z ^ 2-2 ^ n = 153 [/ matemática] solo tiene una solución entera positiva

Answer 1

Considere la ecuación diofantina

[matemáticas] x ^ 2 – 2 ^ n = 153 \ l puntos (\ estrella) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [matemática] x ^ 2 \ equiv 0 [/ matemática] o [matemática] 1 \ bmod {3} [/ matemática], y si [matemática] n [/ matemática] es impar , entonces [matemática] 2 ^ n \ equiv -1 \ bmod {3} [/ math]. Por lo tanto, [matemática] x ^ 2–2 ^ n \ equiv 1 [/ matemática] o [matemática] 2 \ bmod {3} [/ matemática], pero [matemática] 153 \ equiv 0 \ bmod {3} [/ matemática] .

Por lo tanto, [math] n [/ math] es par , digamos [math] n = 2m [/ math]. Eqn. [matemáticas] (\ estrella) [/ matemáticas] da

[matemáticas] 3 ^ 2 \ cdot 17 = (x + 2 ^ m) (x-2 ^ m) [/ matemáticas].

Entonces [matemáticas] (x + 2 ^ m, x-2 ^ m) \ in \ {(153,1), (51,3), (17,9) \} [/ matemáticas], de las cuales la diferencia en solo el par [matemáticas] (17,9) [/ matemáticas] difieren en una potencia de dos. Por lo tanto, la única solución es [matemática] x + 2 ^ m = 17 [/ matemática], [matemática] x-2 ^ m = 9 [/ matemática], lo que da [matemática] x = 13 [/ matemática] y [matemática ] m = 2 [/ matemáticas] [matemáticas] ([/ matemáticas] o [matemáticas] n = 4) [/ matemáticas]. Verificamos que [matemáticas] 13 ^ 2–2 ^ 4 = 153 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]