¿Cuál es el resto cuando 32 ^ 32 ^ 32 se divide por 7?

Answer 1

De alguna manera siento que la esencia básica de la pregunta no se puede comprender fácilmente.

Para empezar, asuma un caso mucho más fácil e intente deducir algo de él. Inicialmente responderemos

¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 2 ^ {2 ^ 2} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]?

• El resto cuando [matemática] 2 [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática] es [matemática] 2 [/ matemática]. Casualmente, eso también resulta ser el resto cuando [matemática] 2 ^ {2 ^ 2} = 16 [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática]. Interesante. Verifique nuevamente con otro número que pueda representarse como una potencia de [math] 2 [/ math].

¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 4 ^ {4 ^ 4} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]?

• El resto cuando [matemática] 4 [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática] es [matemática] 4 [/ matemática]. Nuevamente, ese también es el resto cuando [matemáticas] 4 ^ {4 ^ 4} = 4 ^ {256} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]. (Por supuesto, debe estar un poco familiarizado con la aritmética modular en particular, FLT para hacer este caso)
• Los poderes continuos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] (como el anterior) parecen tener un resultado general como el resto.
• Volviendo a nuestro problema, uno puede deducir fácilmente [matemáticas] 32 [/ matemáticas] como el resto cuando [matemáticas] 32 ^ {32 ^ {32}} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 7 [/ matemáticas] . Entonces, todo lo que queda es dividir aún más [matemáticas] 32 [/ matemáticas] entre [matemáticas] 7 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 4 [/ matemáticas] como el resto.

Poder leer el patrón general nos permitió resolver un problema complejo sin utilizar ninguna aritmética modular avanzada.

Answer 2

4 4

Rem [32 ^ 32 ^ 32/7] = Rem [4 ^ 32 ^ 32/7]

Ahora, necesitamos observar el patrón
4 ^ 1 cuando se divide por 7, deja un resto de 4
4 ^ 2 cuando se divide por 7, deja un resto de 2
4 ^ 3 cuando se divide por 7, deja un resto de 1

Y luego continuará el mismo ciclo de 4, 2 y 1.
Si un número tiene el formato 4 ^ (3k + 1), dejará un resto de 4
Si un número tiene el formato 4 ^ (3k + 2) , dejará un resto de 2
Si un número tiene el formato 4 ^ (3k) , dejará un resto de 1

El número dado a nosotros es 4 ^ 32 ^ 32

Vamos a averiguar Rem [Power / Cyclicity] t0 averiguar si es 4 ^ (3k + 1) o 4 ^ (3k + 2). Podemos mirarlo y decir que no es 4 ^ 3k

Rem [32 ^ 32/3] = Rem [(-1) ^ 32/3] = 1
=> El número tiene el formato 4 ^ (3k + 1)
=> Rem [4 ^ 32 ^ 32/7] = 4

He respondido un montón de preguntas muy similares sobre los residuos. Puede obtener la lista completa aquí: Teorema restante y conceptos relacionados para la preparación de CAT por Ravi Handa en Preparación de CAT

Answer 3

No estoy seguro si está familiarizado con la congruencia en la teoría de números. Trataré de explicar esto de la mejor manera que pueda.

En congruencia podemos representar el teorema del resto como a = b mod c. Esto significa que cuando divide a por c, obtiene un resto b, o esencialmente, (ab) es divisible por c.

Hay varias fórmulas relacionadas con la congruencia, pero solo necesitaremos dos.

1. Si a = b mod c, entonces a ^ p = b ^ p mod c donde p es cualquier número natural.
2. Si a = b mod c y b = x mod c entonces a = x mod c. Nota x

Ahora en nuestro problema actual, podemos ver que 32 = 4 mod 7. Si cubicamos ambos lados podemos ver que 32 ^ 3 = 4 ^ 3 mod 7 (desde el primer teorema). Del segundo teorema, 32 ^ 3 = 64 mod 7 y 64 = 1 mod 7. Entonces 32 ^ 3 = 1 mod 7.

Ahora que tenemos esta relación, podemos aumentar la potencia aún más y obtener 32 ^ 30 = 1 mod 7. Por lo tanto, 32 ^ 32 = 1 * 32 * 32 mod 7.

O 32 ^ 32 = 1024 mod 7

1024 = 2 mod 7. Por lo tanto, 32 ^ 32 = 2 mod 7.

Ahora 32 ^ 32 ^ 32 = 2 ^ 32 mod 7.

Podemos ver que 8 = 1 mod 7. Por lo tanto, 2 ^ 3 = 1 mod 7. Por lo tanto, 2 ^ 30 = 1 mod 7. Multiplicando ambos lados con 2 ^ 2, obtenemos 2 ^ 32 = 4 mod 7.

Como establecimos que 32 ^ 32 ^ 32 = 2 ^ 32 mod 7 y 2 ^ 32 = 4 mod 7, por lo tanto, 32 ^ 32 ^ 32 = 4 mod 7.

Por lo tanto, el resto cuando divide 32 ^ 32 ^ 32 por 7 es 4.

Answer 4

La respuesta es 4 .

[matemática] 32 \ equiv -1 (\ matemática {mod} \; 3) [/ matemática]
[matemáticas] 32 ^ {32} \ equiv (-1) ^ {32} (\ mathrm {mod} \; 3) [/ matemáticas]
[matemática] 32 ^ {32} \ equiv 1 (\ matemática {mod} \; 3) [/ matemática]
[matemáticas] 32 ^ {32} = 1 + 3k [/ matemáticas]

[matemáticas] 32 ^ n = (28 + 4) ^ n [/ matemáticas]
Según el teorema binomial, los primeros n términos tendrán 28 (divisible por 7). El último término sería [matemáticas] 4 ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] 32 ^ {32 ^ {32}} (\ mathrm {mod} \; 7) [/ math]
[matemáticas] \ equiv 4 ^ {32 ^ {32}} (\ mathrm {mod} \; 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ equiv 4 ^ {(1 + 3k)} (\ mathrm {mod} \; 7) [/ matemáticas]
[math] \ equiv 4 \ cdot (4 ^ 3) ^ k (\ mathrm {mod} \; 7) [/ math] [math] [4 ^ 3 \ equiv 1 (\ mathrm {mod} \; 7)] [/matemáticas]
[matemática] \ equiv 4 \ cdot 1 ^ k (\ mathrm {mod} \; 7) [/ math]
[math] \ equiv 4 (\ mathrm {mod} \; 7) [/ math]

Referencia: página en stackexchange.com

Answer 5

Mi acercamiento:

32 ^ 32 ^ 32 –

25 [matemáticas] 25 [/ matemáticas] ^

25 [matemáticas] 25 [/ matemáticas] ^

25 [matemáticas] 25 [/ matemáticas]

=> 2 ^ 800

(2x) / 7 [matemáticas] (2x) / 7 [/ matemáticas] tiene una ciclicidad o repetibilidad de 3.
Es decir

(21) / 7−2 [matemáticas] (21) / 7−2 [/ matemáticas],

(22) / 7−4 [matemáticas] (22) / 7−4 [/ matemáticas],

(23) / 7−1 [matemáticas] (23) / 7−1 [/ matemáticas]… ..

Por lo tanto (2 ^ 800) / 7 se reduce a lo mismo que

(22) / 7 [matemáticas] (22) / 7 [/ matemáticas] que es 4.

La respuesta es 4 (B).

¿Son las 4? Mi enfoque siguiente,

El último dígito de 32 ^ 32 será 4, por lo que el último dígito de 32 ^ 4 será igual a 32 ^ 1. entonces 32/7 = 4.

Por favor, corríjame si estoy equivocado

Answer 6

32 ^ 32 ^ 32/7
= 4 ^ 32 ^ 32/7
Veamos el ciclo ahora
4 ^ 1/7 = 4 rem
4 ^ 2/7 = 2 rem
4 ^ 3/7 = 1 rem
4 ^ 4/7 = 4 rem
4 ^ 5/7 = 2 rem
.
.
El resto comienza a repetirse después del 3er poder en un ciclo de 3 Ie (4,2,1)
Ciclo de poder
32 ^ 32/3
= -1 ^ 32/7
(-1 ^ par = 1)
= 1 ^ 32/7
= 1 resto
Nuestra pregunta 4 ^ 32 ^ 32/7 corta a 4 ^ 1/7
= 4/7
= 4 -> resto final.

Answer 7

Gracias Ravi por corregir

Answer 8

32 mod (7) es igual a 4 mod (7)

Por lo tanto, la solución a esto es la misma que la solución para:

[matemáticas] 4 ^ 4 ^ 4 [/ matemáticas] mod 7

Que es lo mismo que:

[matemáticas] 4 ^ 4 [/ matemáticas] mod 7

Que es lo mismo que:

4 4

Answer 9

déjame probar no modular

① 32 = 2 ^ 5

② 32 ^ 32 = (2 ^ 5) ^ 32 = 2 ^ (160)

③ (32 ^ 32) ^ 32 = (2 ^ 160) ^ 32 = 2 ^ 5120 = 2 ^ {(3 * 1706) +2} = 2 ^ {3k + 2}, k∈N

④ Rem (2 ^ n / 7) = {2,4,1,2,4,1,…}

⑤ ∴Rem {2 ^ (3k + 2)} = 4

Answer 10

Lo sabemos

32 es congruente con 4 (mod 7)

=> 32 ^ 3 es congruente con 1 (mod 7)

=> 32 ^ 30 es congruente con 1 (mod 7)

=> 32 ^ 31 es congruente con 4 (mod 7)

=> 32 ^ 32 es congruente con 128 (mod 7)

=> 32 ^ 32 es congruente con 2 (mod 7)

=> (32 ^ 32) ^ 4 es congruente con 2 (mod 7)

=> (32 ^ 32) ^ 32 es congruente con 2 ^ 8 = 256 (mod 7)

=> (32 ^ 32) ^ 32 es congruente con 4 (mod 7)

Por lo tanto, el resto requerido es 4.

Answer 11

El resto es 4

Answer 12

Suponiendo que quiere decir 32 ^ (32 ^ 32), esto es 2 ^ (5 * 32 ^ 32). Como 2 ^ 3 = 1 mod 7, podemos reducir el exponente 5 * 32 ^ 32 a cualquier valor equivalente módulo 3. En mod 3 land, 5 * 32 ^ 32 = -1 * (-1) ^ 32 = -1 = 2. Entonces terminamos con 2 ^ 2 = 4 como nuestro resto.

Answer 13

32 ^ 32 ^ 32 = 2 ^ 5 ^ 2 ^ 5 ^ 2 ^ 5 = 2 ^ 800

(2 ^ x) / 7 tiene un resto de 2, 4 o 1, y se repite en ese orden.

Por lo tanto, como el resto de 800/3 es 2, el resto de (2 ^ 800) / 7 es el mismo que el resto de (2 ^ 2) / 7, que es 4.