En la teoría de números, ¿cómo demuestro que cada entero distinto de cero puede representarse de manera única en la forma [matemática] \ displaystyle n = \ sum_ {j = 0} ^ {s} c_j 3 ^ j [/ matemática]?

Answer 1

Ashish Kujur, creo que tu prueba tiene lagunas (puedo estar equivocado). Si lee atentamente el teorema de la representación básica, le indica que esto es válido para el caso cuando [math] \; c_j \; [/ math] [math] [/ math] están dentro del rango [math] \ {0, 1,…, k-1 \} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] donde [matemáticas] \; k \; [/ math] es la base.

Por lo tanto, la respuesta será sencilla si se permitiera que los coeficientes fueran [matemática] \ {0,1,2 \} [/ matemática] [matemática] [/ matemática] aquí. En cambio, tenemos [matemáticas] \ {- 1, 0, 1 \} [/ matemáticas] [matemáticas]. [/ math] Curiosamente, esto permite que también se representen números negativos, mientras que el teorema habla solo de enteros positivos.

Entonces su argumento dice que, tomo el número dado N (usando la condición de base especial dada) y agrego otra M (en la base 3), y obtengo una representación única en la base 3, que representa un número único, pero N + M siempre será un número único, ¿verdad? En mi opinión, esto no es muy riguroso.

Aquí está el bosquejo de prueba que propongo. Deberías diseccionarlo.

(1) Probemos que con la condición de base especial, la representación de [matemática] \; 0 \; [/ matemática] [matemática] [/ matemática] (cero) tiene coeficientes todo cero, y no es posible otra representación.

(2) Una vez que se demuestre lo anterior, demostrará fácilmente que el número N no puede tener dos representaciones diferentes. Como puede restar tanto las representaciones como la primera condición dice que todos mis coeficientes deben ser cero, por lo tanto, el coeficiente se vería obligado a ser el mismo en ambas representaciones.

¿Cómo probamos (1)?

Sin pérdida de generalidad, recoja todas [matemáticas] L = \ sum c_j.3 ^ j [/ matemáticas] con [matemáticas] c_j = 1 \; [/ math] y deje que [math] s_1 [/ math] sea el índice más grande.

Del mismo modo: [matemática] -M = \ sum c_j.3 ^ j [/ matemática] con [matemática] c_j = -1 \; [/ math] y let [math] s_2 \; [/ math] sea el índice más grande.

Suponga que [matemáticas] s_1 \ gt s_2. [/ math] También puedes asumir lo contrario, ya que no pueden ser iguales.

Además, con la condición dada, deberíamos tener [math] LM = 0. [/ Math]

Pero [matemática] M \ le \ frac {3 ^ {s_2 + 1} – 1} {2}, [/ matemática] que siempre es menor que [matemática] 3 ^ {s_1}. [/ Matemática] Por lo tanto [matemática] 0 \; [/ math] debe tener todos sus coeficientes como [math] 0 \; [/ math] en su representación.

Answer 2

Simplemente use la inducción sobre los límites como esta declaración: [Tenga en cuenta que es suficiente para probar los enteros positivos, ya que cualquier entero negativo tendrá la misma representación con todos los signos invertidos.]

P (n): para cualquier entero + ve con un valor menor o igual a (3 ^ n-1) / 2, hay una representación única (como se indicó).

Claramente, P (1) es cierto, ya que 1 se expresa fácilmente en el formato.

Deje que P (m) sea cierto; entonces esta representación se puede suponer para cualquier entero + ve menor o igual a (3 ^ m-1) / 2 = M (digamos).

Ahora tomemos un número entero s con [math] s \ leq (3 ^ {m + 1} -1) / 2 [/ math] … (marque este límite es igual a [math] 3M + 1 [/ math]).

Divida s entre 3, entonces obtenemos [math] s = 3t + r [/ math]; con [math] r [/ math] tomado de [math] {- 1,0,1} [/ math]; por lo tanto [matemáticas] t <= M [/ matemáticas].

Entonces, si la representación de t es t = [matemática] \ sum_ {j = 0} ^ {q} c_j 3 ^ j [/ matemática], eso implica s = 3t + r = [matemática] \ sum_ {j = 0} ^ {q} c_j 3 ^ {j + 1} + r [/ matemáticas] = [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {q + 1} d_i 3 ^ i [/ matemáticas]; donde [matemática] d_0 = r [/ matemática]; [matemática] d_i = c_ {i-1} [/ matemática] para [matemática] i \ geq 1 [/ matemática].

Por lo tanto, P (m) es verdadero implica P (m + 1) verdadero también; y dado que P (1) es verdadero; por lo tanto probado por inducción matemática (parte de existencia).