Cómo resolver [matemáticas] 7 (x + y) = 3 (x ^ 2 + y ^ 2 – xy) [/ matemáticas]

Answer 1

Después de mover todo al lado derecho y reorganizar tenemos:

[matemáticas] 3x ^ {2} – \ left (3y + 7 \ right) x + \ left (3y ^ {2} -7y \ right) = 0 [/ math]

Un viaje por el camino de la memoria a los días de la escuela secundaria

[matemáticas] x = \ frac {3y + 7 \ pm \ sqrt {f \ left (y \ right)}} {6} [/ math]

dónde

[matemáticas] f (y) = \ left (3y + 7 \ right) ^ {2} -12 \ left (3y ^ {2} -7y \ right) = – 27y ^ {2} + 126y + 49 [/ math ]

Ahora porque [math] x, y \ in \ mathbb {Z} [/ math] debemos tener

[math] f (y) = k ^ {2} [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Tenga en cuenta que [math] f (y) [/ math] en sí es una cuadrática orientada hacia abajo ([math] f ” (y) <0 [/ math])

funcionar con raíces en

[matemáticas] y = \ frac {-63 \ pm \ sqrt {63 ^ {2} +27 \ left (49 \ right)}} {- 27} \ approx-0.36 \, \ textrm {or} \, 5.02 [ /matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] f (y) 5.02 [/ matemática] o [matemática] y <-0.36 [/ matemática] y así podemos limitar

nuestra búsqueda de [math] y [/ math] a [math] \ left \ {0,1,2,3,4,5 \ right \} [/ math].

[matemáticas] y = 0 \ Flecha derecha f (y) = 49 = 7 ^ {2} [/ matemáticas]

[matemática] y = 1 \ Estrella derecha f (y) = 148 \ neq k ^ {2} [/ matemática]

[matemáticas] y = 2 \ Flecha derecha f (y) = 193 \ neq k ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 3 \ Flecha derecha f (y) = 184 \ neq k ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 4 \ Flecha derecha f (y) = 121 = 11 ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 5 \ Flecha derecha f (y) = 4 = 2 ^ {2} [/ matemáticas]

Como puede ver solo para [matemática] y = 0 [/ matemática], [matemática] y = 4 [/ matemática] y [matemática] y = 5 [/ matemática] es [matemática] f (y) [/ matemática ] un perfecto

cuadrado.

[matemáticas] y = 0 \ Flecha derecha x = \ frac {3y + 7 \ pm \ sqrt {f \ left (y \ right)}} {6} = 0 \, \ textrm {o} \, \ frac {14} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 4 \ Rightarrow x = \ frac {3y + 7 \ pm \ sqrt {f \ left (y \ right)}} {6} = 5 \, \ textrm {o} \, \ frac {8} {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 5 \ Rightarrow x = \ frac {3y + 7 \ pm \ sqrt {f \ left (y \ right)}} {6} = 4 \, \ textrm {or} \, \ frac {20} {6} [/ matemáticas]

Entonces, hay tres soluciones en [math] \ mathbb {Z} ^ {2} [/ math]:

[matemáticas] (x, y) = (0,0) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x, y) = (4,5) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x, y) = (5,4) [/ matemáticas]

Answer 2

Los detalles de la pregunta indican que [math] x, y \ in \ mathbb {Z} [/ math], lo que significa que está buscando soluciones enteras. De hecho, podemos describir efectivamente las soluciones complejas, reales, racionales y enteras de esta ecuación. Me centraré en los enteros, pero los reales serán útiles y diré algo sobre los demás.

En primer lugar, ¿qué es esa cosa? Es una ecuación única en dos variables, por lo que es una curva . Si dibujamos todos los puntos reales [matemática] (x, y) [/ matemática] que satisfacen esta ecuación, esperamos encontrar alguna curva genuina: una trayectoria unidimensional en el plano.

De hecho, dado que la ecuación es un polinomio de segundo grado, esperamos encontrar una sección cónica . Esos son círculos, elipses, parábolas, hipérbolas y algunas otras posibilidades (degeneradas).

Si conoce su geometría analítica, debería poder decir que se trata de una elipse. Pero incluso si no lo hace, es posible que pueda hacer un bosquejo de lo que está sucediendo aquí: para cualquier valor particular de [matemáticas] x [/ matemáticas], lo que tenemos aquí es una ecuación cuadrática en la variable [matemáticas] y [ / math], que podemos escribir como

[matemáticas] 3y ^ 2- (3x + 7) y + 3x ^ 2-7x = 0 [/ matemáticas]

Lo que debe preocuparte es el discriminante de esta cosa. ¿Por qué? Porque cuando el discriminante es negativo, no habrá soluciones reales, y ciertamente no habrá soluciones enteras.

El discriminante es [matemáticas] (3x + 7) ^ 2-12 (3x ^ 2-7x) [/ matemáticas]. Ese es otro polinomio cuadrático, y la buena noticia es que parece una “parábola descendente”: el coeficiente principal es negativo. ¡Alegrarse! Es positivo solo para algunos valores restringidos de [math] x [/ math], y más allá de eso es negativo y no tenemos que preocuparnos por eso.

Tampoco tenemos que investigar a fondo este polinomio. Es suficiente observar que es claramente positivo cuando [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], pero ya se vuelve negativo en [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 6 [/ matemáticas]. Entonces, la única región donde la curva original podría vivir es cuando [matemática] -2

Para la imagen real, esto significa que nuestra curva debe ser una elipse. Las parábolas y las hipérbolas se extienden infinitamente lejos, mientras que nuestra curva no. De hecho, se ve así, pero de nuevo, realmente no necesita saber eso:

Lo importante es que la curva tiene puntos solo cuando [math] x [/ math] se encuentra en este pequeño rango. Dado que estamos buscando soluciones enteras, simplemente necesitamos verificar [matemáticas] x = -1,0,1,2,3,4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas].

Para cada [matemática] x [/ matemática], nuestra ecuación es una cuadrática simple en [matemática] y [/ matemática]. La mayoría de las veces tiene soluciones irracionales, pero hay algunas excepciones. Identificará rápidamente los puntos enteros [matemática] (0,0) [/ matemática], [matemática] (4,5) [/ matemática] y [matemática] (5,4) [/ matemática], y la clave es que ahora sabe que no puede haber otras soluciones enteras , por una simple razón geométrica: la parte real de la curva no se extiende más allá de esos valores de [math] x [/ math].

Entonces, la pregunta en enteros está completamente resuelta. Hay tres, y solo tres, soluciones.

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¿Y si quisiéramos soluciones racionales? Las cónicas con coeficientes racionales tienen esta agradable dicotomía: no tienen soluciones racionales o tienen infinitas. Este ciertamente pertenece a la segunda clase (el círculo [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 3 [/ matemáticas] es un ejemplo de una cónica racional sin puntos racionales en absoluto).

Para describir las soluciones racionales, usted “proyecta” la curva desde un punto racional de su elección en una línea racional de su elección, y esto le proporciona una parametrización de la curva de una variable en términos racionales.

En este caso, es natural elegir el punto [matemática] (0,0) [/ matemática] y proyectar usando [matemática] y = tx [/ matemática]. Simplemente sustituyendo y resolviendo, encontramos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {7 (t + 1)} {3 (t ^ 2-t + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {7t (t + 1)} {3 (t ^ 2-t + 1)} [/ matemáticas]

Para cualquier valor de [math] t [/ math], ya sea real, complejo, racional o cualquier otra cosa, estas fórmulas producen un punto [math] (x, y) [/ math] en nuestra curva, razón por la cual esto es llamado una parametrización . Si eliges una [matemática] t [/ matemática] racional, obtienes [matemática] x [/ matemática] e [matemática] y [/ matemática] racional, así que ahora tienes una descripción muy agradable y explícita de todas las soluciones racionales a nuestra ecuación

Usando esta parametrización también es posible encontrar todas las soluciones enteras. Pero en nuestro caso, dado que la elipse es compacta con un pequeño rango de posibles [matemáticas] x [/ matemáticas], en realidad no necesitamos hacer esto: fue suficiente para verificar esos siete valores de [matemáticas] x [/matemáticas].

¡Hecho!

Answer 3

Una ecuación y 5 “variables” no suenan bien para una solución. Podrías establecer y = 0 y jugar ese juego. Establezca x = 0 y juegue ese juego. Pero una solución general parece “difícil”. ¿Qué se establece Z?

Answer 4

Primero encontramos los límites superior e inferior para x e y. Eliminar los corchetes y recopilar los términos que tenemos

[matemáticas] 3x ^ 2-3xy-7x + 3y ^ 2-7y = 0. [/ matemáticas]

Para estar seguro de los valores reales de x, insista en que el discriminante es mayor que 0. Eso es

[matemáticas] 27y ^ 2-126y-49 <0 [/ matemáticas]

Entonces

[matemática] -1

También observamos que 9 divide [matemáticas] x + y. [/ Matemáticas]

Dentro del rango que garantiza el valor real de x e y, [matemática] (x, y) = (4,5) [/ matemática] o [matemática] (5,4) [/ matemática] o [matemática] (0, 0) [/ matemáticas]