Estoy de acuerdo con las otras respuestas hasta cierto punto. Lo que regula la complejidad de un campo en matemáticas es más social que intrínseco al campo. Si se gasta suficiente esfuerzo, siempre se puede encontrar el camino hacia versiones más sofisticadas de los resultados anteriores en el campo. La teoría de números también tiene una cara pública más accesible de inmediato que muchos campos matemáticos, lo que hace que parte de la complejidad sea más obvia.
Creo que, en ciertos aspectos, en realidad es relativamente complicado como campo matemático. Sin embargo, a muchos matemáticos también les gusta la teoría de números, lo que significa que atrae más esfuerzo que un campo similar con un atractivo menos inmediato. Desearía haber entendido cuando elegí obtener mi Ph.D. en él, que por razones similares, también era un campo relativamente competitivo.
Su posición en el universo matemático también ayuda a enriquecerlo en comparación con el campo matemático típico. Mire su posición en este mapa (es 11 en el sistema de clasificación): el Atlas matemático. La disposición del mapa se basa en la cantidad de documentos revisados que se encuentran en más de un campo. Tener muchos documentos en común tiende a acercar los campos entre sí. La parte superior del mapa es en gran parte matemática “pura” mientras que la parte inferior está relativamente “aplicada”. La teoría de números se encuentra en el medio del extremo “puro” del mapa porque se encuentra en la encrucijada de muchos otros campos.
Como estudiante estuve expuesto a la teoría de números relativamente algebraicos. Algunos de los resultados que veríamos mencionados fueron resultados de teoría de números de potencia relativamente alta que dependían del uso de geometría algebraica de potencia relativamente alta. El tipo de geometría algebraica que uno usa en la teoría de números tiende a ser más elegante para una cosa porque la mayoría de las veces de lo habitual, uno necesita usar campos base de todas las características.
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Estoy menos familiarizado con la teoría analítica de números, pero también es un subcampo muy poderoso. Alguien más cercano a ese campo estaba describiendo cómo las mejoras en las estimaciones de ciertas sumas exponenciales (suma exponencial – Wikipedia) serían seguidas por una pequeña cascada de mejoras en otros teoremas. Sin embargo, ciertos tipos de funciones especiales terminan figurando prominentemente. Se han realizado resmas de trabajo en formas modulares.
De alguna manera, los límites de la teoría de números parecen un poco arbitrarios. El hecho de que la aproximación de diofantina (aproximación de diofantina – Wikipedia) cuente como teoría de números parece menos arbitraria después de profundizar en detalles. Pero, en general, no habría pensado en la irracionalidad de varios números reales como una pregunta teórica numérica en el mismo sentido que la existencia de infinitas soluciones enteras a [matemáticas] m ^ 2-37n ^ 2 = 1 [/ matemáticas] es.
La lógica a veces se ha aplicado a la teoría de números, como con la solución al décimo problema de Hilbert.
Si tuviera que adivinar en qué otros campos eran igualmente ricos, miraría los campos en los que se publica aún más trabajo, ya que sospecho que tener una gran pandilla trabajando en un campo tiene mucho que ver con cómo termina volviéndose complicado .