Sea [math] x [/ math] un número real tal que [math] x ^ x = 2 [/ math]. ¿Es [matemática] x [/ matemática] irracional? ¿Se desconoce la respuesta?

Answer 1

Es irracional

Suponga que [matemática] x = \ frac {a} {b} [/ matemática] con [matemática] a, b [/ matemática] enteros positivos relativamente primos y [matemática] b> 1 [/ matemática] ([matemática] x [/ math] claramente no es un número entero). Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ {\ frac {a} {b}} = 2 [/ math]

Eleve esto al poder [matemáticas] b ^ \ text {th} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {a} {b} \ right) ^ a = 2 ^ b [/ math]

O

[matemáticas] \ displaystyle a ^ a = 2 ^ bb ^ a [/ math]

El lado derecho es par, y el lado izquierdo es una potencia de [matemáticas] a [/ matemáticas], por lo que [matemáticas] a [/ matemáticas] debe ser par. Como [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​relativamente primos, [math] b [/ math] es impar. Pero ahora, si [matemática] p [/ matemática] es una división prima impar [matemática] b [/ matemática] entonces [matemática] p [/ matemática] divide el lado derecho pero no el lado izquierdo, contradicción. QED

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(Nota: originalmente completé el argumento de la siguiente manera, ya que es una costumbre mirar primero las [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Sridhar sugirió otro movimiento en los comentarios).

Suponga que [matemática] a [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática] exactamente [matemática] k [/ matemática] veces, lo que significa [matemática] a = 2 ^ kr [/ matemática] con [matemática] [ / math] [math] r [/ math] impar. Entonces [matemática] a ^ a [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática] exactamente [matemática] ak [/ matemática] veces, mientras que el RHS es divisible por [matemática] 2 [/ matemática] exactamente [matemática ] b [/ math] veces (recuerde que [math] b [/ math] es impar, por lo que [math] b ^ a [/ math] no aporta [math] 2 [/ math] ‘s). Por lo tanto debemos tener

[matemáticas] b = ak [/ matemáticas]

pero esto es imposible, ya que contradice que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​relativamente primos (y también significa [matemática] x \ leq 1 [/ matemática] que también es imposible) . QED

Answer 2

La pregunta que se hace no tiene sentido.

Si reemplaza “todos” con “a”, entonces hay un número real positivo único [matemática] x [/ matemática] que satisface [matemática] x ^ x = 2 [/ matemática], igual a [matemática] \ frac {\ log 2} {W (\ log 2)} = 1.55961 … [/ math], donde W es la función Lambert W – Wikipedia

Sospecho que es irracional, pero no sé cómo demostrarlo o si es un hecho conocido.

Editar: Vea la respuesta de Alon Amit a Let [math] x [/ math] sea un número real tal que [math] x ^ x = 2 [/ math]. ¿Es [matemática] x [/ matemática] irracional? ¿Se desconoce la respuesta? para una prueba de que sí es irracional. Además, el título de la pregunta se ha solucionado ahora.

Answer 3

Pregunta confusa! Les puedo asegurar que [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] NO es igual a 2 para todas [matemáticas] x [/ matemáticas]. Y no todos los x reales son irracionales. Entonces, ¿qué es lo que quieres saber?