Si [math] n [/ math] es un entero positivo tal que [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math] es un entero, ¿cómo muestro que [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math] es el cuadrado de un entero?

Answer 1

Deje [math] m = \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math]. Si [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} = 2 (1 + m) \ in \ mathbb N [/ math], entonces [math] 2m \ in \ mathbb N [/ math]. Si [math] m \ notin \ mathbb N [/ math], entonces [math] 2m [/ math] debe ser impar . Pero entonces [matemáticas] (2m) ^ 2 = 4m ^ 2 = 4 (28n ^ 2 + 1) [/ matemáticas] es impar . Esta contradicción muestra que [math] m \ in \ mathbb N [/ math], y dado que [math] m ^ 2 = 28n ^ 2 + 1 [/ math] es impar , [math] m [/ math] es impar . Entonces [math] m [/ math] es un entero impar .

Ahora

[matemáticas] 7n ^ 2 = \ frac {m + 1} {2} \ cdot \ frac {m-1} {2} [/ matemáticas],

y [math] \ gcd \ big (\ frac {m + 1} {2}, \ frac {m-1} {2} \ big) = 1 [/ math] [math] ([/ math] desde su mcd debe dividir su diferencia [matemáticas]) [/ matemáticas], debemos tener

[matemática] \ frac {m + 1} {2} = 7a ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ frac {m-1} {2} = b ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ mcd ( a, b) = 1 [/ matemáticas], o

[matemática] \ frac {m + 1} {2} = a ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ frac {m-1} {2} = 7b ^ 2 [/ matemática], [matemática] \ mcd ( a, b) = 1 [/ matemáticas].

El primer caso da [math] b ^ 2–7a ^ 2 = -1 [/ math], de modo que [math] b ^ 2 \ equiv -1 \ pmod {7} [/ math]. Esto no es posible ya que [matemática] 7 [/ matemática] es un primo de la forma [matemática] 4k + 3 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] o, los cuadrados no nulos mod [matemática] 7 [/ matemática ] son ​​[matemáticas] 1, 2, 4) [/ matemáticas].

Por lo tanto, el segundo caso es válido, y [matemática] 2 (m + 1) = (2a) ^ 2 [/ matemática] es un cuadrado perfecto. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Deje que [math] n [/ math] sea un número entero positivo tal que [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math] es un número entero. Deje [math] x = 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math]. Entonces, [matemáticas] x – 4 = 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} – 2 [/ matemáticas] también es un número entero. Ambos son positivos, ya que, dado que [math] n \ geq 1 [/ math], [math] 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} – 2 \ geq 2 \ sqrt {28 + 1} – 2> 0 [/ matemática], [matemática] x – 4 [/ matemática] es positiva, lo que hace que [matemática] x [/ matemática] también sea positiva.

[matemáticas] x \ left (x – 4 \ right) = \ left (2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} \ right) \ left (2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} – 2 \ right) [/matemáticas]

[matemáticas] = \ left (2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} + 2 \ right) \ left (2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} – 2 \ right) [/ math]

[matemática] = \ left (2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} \ right) ^ 2 – 2 ^ 2 [/ math]

[matemáticas] = 4 \ izquierda (28n ^ 2 + 1 \ derecha) – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 112n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 112 [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 16 [/ matemáticas] (como [matemáticas] 112 = (7) (16) [/ matemáticas]). Por lo tanto, [math] x \ left (x – 4 \ right) [/ math] también es divisible por [math] 16 [/ math]. Esto significa que [math] x [/ math] es divisible por [math] 4 [/ math]. (Si [math] x [/ math] es impar, entonces [math] x-4 [/ math] es impar, entonces su producto es impar. Si [math] x [/ math] es dos veces un número impar, entonces [ math] x-4 [/ math] también es dos veces un número impar, entonces [math] x \ left (x-4 \ right) [/ math] es [math] 4 [/ math] multiplicado por un número impar, y por lo tanto no es divisible por [matemáticas] 16 [/ matemáticas]).

Deje [math] x = 4u [/ math]. Simplemente se demostró que [math] u [/ math] es un número entero, y [math] u [/ math] es positivo porque [math] 4u = x [/ math] es positivo. [math] u – 1 [/ math] también es un entero positivo. ([matemática] u – 1> 0 [/ matemática], como [matemática] 4u – 4 = x – 4> 0 [/ matemática], como se mostró anteriormente.) Si se puede mostrar [matemática] u [/ matemática] para ser un cuadrado perfecto, eso haría que [matemáticas] x [/ matemáticas] (y por lo tanto también [matemáticas] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ matemáticas], que [matemáticas] x [/ matemáticas] se definió como) un cuadrado perfecto. Así:

[matemática] 4u \ izquierda (4u – 4 \ derecha) = 112n ^ 2 [/ matemática]

[matemática] 16u \ izquierda (u – 1 \ derecha) = 112n ^ 2 [/ matemática]

[matemática] u \ izquierda (u – 1 \ derecha) = 7n ^ 2 [/ matemática]

Ahora, [matemática] u [/ matemática] y [matemática] u-1 [/ matemática] no tienen factores comunes enteros positivos entre ellos distintos de [matemática] 1 [/ matemática]. (Si lo hicieran, [matemática] 1 [/ matemática], que es la diferencia entre ellos, también tendría este factor común entero positivo distinto de [matemática] 1 [/ matemática], pero no lo es). cualquier factor primo que tenga [math] u [/ math], [math] u-1 [/ math] no tiene ese factor primo.

Por lo tanto, cualquier factor primo de [math] u [/ math], que no sea posiblemente [math] 7 [/ math], debe aparecer un número par de veces en la factorización prima de [math] u [/ math]. Lo mismo vale para [math] u-1 [/ math]: cualquier factor primo de [math] u-1 [/ math], que no sea posiblemente [math] 7 [/ math], debe aparecer un número par de veces en la factorización prima de [matemáticas] u-1 [/ matemáticas].

En cuanto a [math] 7 [/ math] en sí, aparece un número impar en total en las factorizaciones primas de [math] u [/ math] y [math] u-1 [/ math]. Por lo tanto, en la factorización prima de uno de [matemática] u [/ matemática] y [matemática] u-1 [/ matemática], [matemática] 7 [/ matemática] aparece un número impar de veces, y en la otra, [ matemáticas] 7 [/ matemáticas] aparece un número par de veces. En cualquiera de [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] u-1 [/ matemáticas], el factor primo [matemáticas] 7 [/ matemáticas] aparece un número par de veces, ese número ([matemáticas] u [/ matemáticas] ] o [math] u-1 [/ math]) es un cuadrado perfecto, porque cada uno de sus factores primos aparece un número par de veces. En cualquiera de [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] u-1 [/ matemáticas] el factor primo [matemáticas] 7 [/ matemáticas] aparece un número impar de veces, ese número ([matemáticas] u [/ matemáticas] ] o [matemática] u-1 [/ matemática]) es [matemática] 7 [/ matemática] multiplicada por un cuadrado perfecto, porque dividiendo esta [matemática] u [/ matemática] o [matemática] u-1 [/ matemática] por [math] 7 [/ math] produce un número entero positivo cada uno de cuyos factores primos aparece un número par de veces en su factorización prima (es decir, de [math] \ frac {u} {7} [/ math] o de [matemáticas] \ frac {u-1} {7} [/ matemáticas], según sea el caso).

Por lo tanto, hay dos casos:

a) [matemáticas] u = v ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u – 1 = 7w ^ 2 [/ matemáticas]

y

b) [matemáticas] u = 7v ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u – 1 = w ^ 2 [/ matemáticas]

donde [math] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​enteros positivos. El caso a) convierte [math] u [/ math] en un cuadrado perfecto, que es suficiente para hacer que [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math] sea un cuadrado perfecto. Por lo tanto, el único caso que necesita ser examinado es b).

En el caso b), [matemáticas] w ^ 2 = u – 1 = 7v ^ 2 – 1 [/ matemáticas]. Ahora, el resto cuando [matemática] 7v ^ 2 – 1 [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática] es [matemática] 6 [/ matemática], pero, si [matemática] u = 7q + r [ / matemática], donde [matemática] q [/ matemática] es un número entero y [matemática] r = 0 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] 5 [/ matemática] o [matemática] 6 [/ matemática], luego [matemática] u ^ 2 = \ izquierda (7q + r \ derecha) ^ 2 = 49 q ^ 2 + 14 qr + r ^ 2 = 7 \ left (7q ^ 2 + 2qr \ right) + r ^ 2 [/ math] y, desde [math] r ^ 2 = 0 [/ math ], [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 4 [/ matemáticas], [matemáticas] 9 [/ matemáticas], [matemáticas] 16 [/ matemáticas], [matemáticas] 25 [/ matemáticas] o [matemáticas ] 36 [/ matemática], se deduce que el resto cuando [matemática] w ^ 2 [/ matemática] se divide por [matemática] 7 [/ matemática] es, en consecuencia, [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática], [matemática] 4 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática ], que nunca es [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Sin embargo, [matemáticas] w ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 7v ^ 2 – 1 [/ matemáticas] son ​​el mismo número, por lo que hay una contradicción. Por lo tanto, el caso b) no puede suceder.

Por lo tanto, el caso a) debe suceder, pero se demostró que [matemáticas] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ matemáticas] un cuadrado perfecto en ese caso. Por lo tanto, [math] 2 + 2 \ sqrt {28n ^ 2 + 1} [/ math] es el cuadrado de un número entero.

Answer 3

Supongamos que para cualquier [matemática] m \ in \ mathbb {N} [/ matemática] tomamos [matemática] 28 n ^ 2 + 1 = m ^ 2 \ implica que m ^ 2–28n ^ 2 = 1 [/ matemática] es un caso particular de la ecuación de Pell con la solución más pequeña [matemática] (m_0, n_0) = (127,24) [/ matemática]

Por lo tanto, tenemos para [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math]

[matemáticas] (m, n) = \ left (\ dfrac {[127 + 48 \ sqrt {7}] ^ {k} + [127-48 \ sqrt {7}] ^ {k}} {2}, \ dfrac {[127 + 48 \ sqrt {7}] ^ {k} – [127-48 \ sqrt {7}] ^ {k}} {4 \ sqrt {7}} \ right) \ tag * {} [/ matemáticas]

Ahora usando nuestra primera suposición podemos escribir

[matemáticas] \ begin {align} 2 + 2 \ sqrt {28n ^ {2} +1} & = 2m + 2 \\ & = (127 + 48 \ sqrt {7}) ^ {k} + (127-48 \ sqrt {7}) ^ {k} +2 \\ & = \ underbrace {\ left \ {(8 + 3 \ sqrt {7}) ^ {k} + (8-3 \ sqrt {7}) ^ { k} \ right \} ^ {2}} _ {P ^ 2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Y es evidente que [math] P = (8 + 3 \ sqrt {7}) ^ {k} + (8-3 \ sqrt {7}) ^ {k} \ in \ mathbb {N} [/ math] es decir un número entero, eso será todo lo que necesitamos.