Cómo encontrar el resto de 2 ^ 55 dividido por 33

Answer 1

Como [matemáticas] 2 ^ 5 = 32 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ {55} = (2 ^ 5) ^ {11} = 32 ^ {11} [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos que encontrar el resto cuando [math] 32 ^ {11} [/ math] se divide por [math] 33 [/ math].

Ahora usando el teorema binomial, tenemos

[matemáticas] (33-1) ^ {11} = 11C0 * 33 ^ {11} + 11C1 * 33 ^ {10} * (- 1) ^ 1 +… .11C11 * (- 1) ^ {11} [/ matemáticas]

Dado que todos los términos, excepto el último término, son divisibles por [matemáticas] 33 [/ matemáticas], el resto de [matemáticas] 32 ^ {11} [/ matemáticas] cuando se divide por [matemáticas] 33 [/ matemáticas] sería el igual que el resto de [matemáticas] (- 1) ^ {11} [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 33 [/ matemáticas].

Ahora, [matemáticas] (- 1) ^ {11} = – 1 [/ matemáticas]. Esto significa que tenemos que encontrar el resto cuando [math] -1 [/ math] se divide por [math] 33 [/ math]. Algunas personas podrían decir que el resto es [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

PERO SIEMPRE RECUERDA QUE EL RESTANTE NUNCA PUEDE SER NEGATIVO.

Entonces escribimos [matemáticas] -1 = -1 + 33-33 = 32-33 = -33 + 32 [/ matemáticas]. Ahora este número [matemática] -33 + 32 [/ matemática] da [matemática] -1 [/ matemática] como el cociente y [matemática] 32 [/ matemática] como el resto cuando se divide entre [matemática] 33 [/ matemática] .

Por lo tanto, el resto es [matemáticas] 32 [/ matemáticas].

NOTA: EL COTIENTE EN UNA DIVISIÓN PUEDE SER NEGATIVO PERO EL RESTANTE NO PUEDE SER NEGATIVO.

Answer 2

[matemáticas] {2 ^ 5} \ equiv – 1 \ bmod \ left ({33} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow {\ left ({{2 ^ 5}} \ right) ^ {11}} \ equiv {\ left ({- 1} \ right) ^ {11}} \ bmod \ left ({33} \ right) [/ math]

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {55}} \ equiv – 1 \ bmod \ left ({33} \ right) [/ math]

Como el resto no puede ser un número negativo,

[matemática] \ Rightarrow {2 ^ {55}} \ equiv \ left ({- 1 + 33} \ right) \ bmod \ left ({33} \ right) [/ math]

[math] \ Rightarrow {5 ^ {99}} \ equiv 32 \ bmod \ left ({13} \ right) [/ math]

Por lo tanto, el resto es [matemáticas] 32 [/ matemáticas].

Answer 3

tenemos que averiguar 2 ^ 55 mod 33

en realidad 2 ^ 5 mod 33 = -1

2 ^ 55 mod 33 = (2 ^ 5) ^ 11 mod 33 = (- 1) ^ 11 mod 33 = -1 mod 33

El resto no puede ser un número negativo. De ahí la respuesta 33–1 = 32