¿Cómo se desarrollaron los axiomas de Peano?

Answer 1

Grassmann

Hermann Grassmann (1809-1877) publicó en 1860 su libro de texto de matemáticas titulado Lehrbuch der Mathematik für Höhere Lehranstalten. En él, desarrolló rigurosamente la teoría de los enteros (incluidos los enteros positivos, los enteros negativos y el cero).

No expresó expresamente axiomas ya que no creía que esa fuera la forma de hacer matemáticas. Postuló dos operaciones, sucesor y predecesor, que son inversas entre sí. Asumió que se podía acceder a cada número ya sea por una secuencia de sucesores de un elemento base 0 o por una secuencia de predecesores de 0, pero no por ambos. Definió inductivamente la suma y la resta en términos de estas operaciones y demostró sus diversas propiedades, como la asociatividad de la suma mediante la inducción matemática. El resto del libro continúa con multiplicación, división, orden, potencias y otra teoría básica de números.

Dedekind

Richard Dedekind (1831–1916) publicó en 1888 su tratado sobre los fundamentos de los números, ¿Fue sind y fue sollen die Zahlen? (Ver http://aleph0.clarku.edu/~djoyce…). En él, caracterizó los números naturales (que para él eran enteros positivos) como un conjunto [math] \ mathbf N [/ math] con una función, llamada función sucesora (que denotó con un primo),

1. que es una función uno a uno,
2. hay un elemento, el elemento inicial 1, que no es el sucesor de ningún elemento, y
3. el subconjunto más pequeño [math] S [/ math] que incluye 1 y está cerrado bajo la función sucesora es el conjunto completo [math] \ mathbf N [/ math].

Esta última afirmación es una inducción matemática cuando se toma [math] S [/ math] como el conjunto de números para el que se mantienen algunas propiedades. Dice que si la propiedad es válida para 1, y cada vez que es válida para un número también es válida para el sucesor de ese número, entonces es válida para todos los números. Dedekind declaró explícitamente eso como un teorema.

Peano

Giuseppe Peano (1858–1932) publicó en 1889 su Arithmetices principia, nova method exposita . Peano usó los mismos axiomas que Dedekind.

Resumen

El principio de inducción matemática es uno de varios principios equivalentes. Euclides, por ejemplo, utilizó el principio de que no hay una secuencia interminable de números naturales decrecientes. La forma particular que llamamos inducción matemática se ha utilizado durante mil años. Grassmann lo usó para desarrollar sus fundamentos para los números. Dedekind y Peano lo usaron junto con axiomas más simples para sus fundamentos para los números naturales.

Answer 2

Si bien Giuseppe Peano murió décadas antes de que yo naciera, así que nunca tuve la oportunidad de preguntarle, estoy bastante seguro de que hizo un poco de ambas cosas. Es decir, él sabía lo que quería que fueran los números naturales, y quería crear un conjunto mínimo de axiomas que los generara. Pero también quería que todos los axiomas parecieran obvios por derecho propio.

No creo que sea significativo describir los axiomas como válidos o inválidos. Son lógicamente consistentes y generan los números naturales. Los números naturales son útiles. Hay un número infinito de otros esquemas de axiomas que también podrían generar los números naturales, no tengo ninguna razón para creer que los de Peano sean mejores que cualquiera de ellos (otras personas con un conocimiento más profundo podrían tener razones para pensar que los de Peano son particularmente buenos, no lo creo). t saber)

Sin embargo, la importancia de un esquema de axioma es que garantiza que el concepto de números naturales no contenga una contradicción. Si aparece una paradoja o contradicción, en principio puede rastrearse hasta los axiomas para decidir qué lado es el correcto. Otro sistema de axiomas podría dar una respuesta diferente.

Piensa en el sistema axiomático de Euclides para la geometría. Era un buen sistema y la mayoría de los postulados eran evidentes para casi todos. Solo el postulado paralelo parecía menos obvio. Eventualmente, la gente descubrió que si lo descartas aún obtienes geometrías interesantes y consistentes. Eso no invalida el trabajo de Euclides, solo abre la geometría a campos más ricos.

Del mismo modo, alguien podría venir y eliminar o cambiar uno o los axiomas de Peano (o tal vez alguien ya lo haya hecho) y presentar variaciones interesantes en los números naturales. Pero el trabajo de Peano aún sería válido.

Answer 3

Mi suposición es la última. Los axiomas de Peano me parecen haber capturado la intuición establecida desde hace mucho tiempo de una sucesión interminable de números que comienzan en algún “primer número” (0 o 1 dependiendo de la preferencia):

Cada número tiene un sucesor único.

Cada número excepto el “primero” tiene un predecesor único.

El “primer” número no tiene un predecesor.

Eventualmente se puede llegar a cada número mediante sucesiones repetidas a partir del “primer” número.

Estas propiedades de los números naturales se pueden formalizar utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos de la siguiente manera:

1. [matemáticas] 0 \ en N [/ matemáticas]
2. [matemáticas] S: N \ a N [/ matemáticas]
3. [matemática] S [/ matemática] es inyectiva
4. [matemática] \ para todos x \ en N: S (x) \ neq 0 [/ matemática]
5. [matemáticas] \ forall P \ subconjunto N: [0 \ en P \ land \ forall x \ en P: [S (x) \ en P] \ implica \ forall x \ en N: x \ en P] [/ math ]

o equivalente a (5) …

[matemáticas] N = \ {0, S (0), S (S (0)), S (S (S (0))), \ cdots \} \ space \ space [/ math] (vea mi prueba formal )