¿Cuáles son [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas] en [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 33 [/ matemáticas] ?

Answer 1

(Spoiler: esta respuesta contiene la palabra “SEXO”).

Depende.

Si desea tres números reales [matemática] x, y, z [/ matemática] que satisfagan [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 33 [/ matemática], entonces hay infinitos, y son muy fáciles encontrar.

Si desea tres números racionales [matemática] x, y, z [/ matemática] que satisfagan [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 33 [/ matemática] entonces todavía hay infinitos, aunque son algo más difícil de encontrar

Si desea tres enteros , o números enteros , que satisfagan esa ecuación, deberá ser paciente: nadie sabe si existen esos tres números. [matemáticas] 33 [/ matemáticas] es el número natural más pequeño para el que se desconoce si puede representarse como una suma de tres cubos de enteros.

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Para soluciones reales, considere

[matemáticas] x = 0, y = 0, z = \ sqrt [3] {33} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = y = z = \ sqrt [3] {11} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x = 2, y = 3, z = – \ sqrt [3] {2} [/ matemáticas].

Claramente, hay infinitas soluciones: puede elegir [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] para que sea lo que desee, y siempre hay exactamente una [matemática] z [/ matemática] que funciona, ya que cada número real tiene exactamente una raíz cúbica real.

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¿Quieres soluciones racionales? Aquí hay uno simple:

[matemáticas] \ displaystyle (-4) ^ 3 + \ left (- \ frac {5} {3} \ right) ^ 3 + \ left (\ frac {14} {3} \ right) ^ 3 = 33 [/ matemáticas].

Una vez más, hay infinitas soluciones de este tipo, aunque eso no es tan obvio como el caso real. Si elige [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] para ser racional, generalmente no hay razón para suponer que la [matemática] z [/ matemática] correspondiente también será racional – vea el anterior ejemplos de soluciones reales.

Pero, de hecho, hay infinitas maneras de representar cualquier número racional como la suma de tres cubos de racionales. Esto fue descubierto por primera vez en 1825 por un maestro de escuela de Leeds llamado S. Ryley, quien publicó este descubrimiento en “The Ladies ‘Diary”, una publicación que se publicaba anualmente en Londres desde 1704 hasta 1841, con el subtítulo

“Con nuevas mejoras en ARTES y CIENCIAS, y muchas DATOS entretenidos: Diseñados para el USO Y DIVERSIÓN DEL SEXO JUSTO”.

Se pierde un momento en que las damas de Londres fueron desviadas por parametrizaciones racionales de ecuaciones cúbicas.

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El problema de representar enteros como sumas de cubos de enteros es muy difícil.

Por simples consideraciones de los módulos de residuos [matemática] 9 [/ matemática], no existen tales representaciones para los números que dejan un resto de [matemática] 4 [/ matemática] o [matemática] 5 [/ matemática] tras la división por [matemática] 9 [/ matemáticas]. Para todos los demás números, se cree que tales representaciones existen, pero son caóticas de una manera bastante … desviadora.

• [matemáticas] 1 = 1 ^ 3 + 0 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 2 = 1 ^ 3 + 1 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 3 = 1 ^ 3 + 1 ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 4 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 5 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 6 = 2 ^ 3 + (- 1) ^ 3 + (- 1) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 7 = 2 ^ 3 + (- 1) ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 8 = 2 ^ 3 + 0 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 9 = 2 ^ 3 + 1 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 10 = 2 ^ 3 + 1 ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 11 = 3 ^ 3 + (- 2) ^ 3 + (- 2) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 12 = 10 ^ 3 + 7 ^ 3 + (- 11) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 13 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 14 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + (- 1) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 16 = 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 17 = 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 18 = 3 ^ 3 + (- 2) ^ 3 + (- 1) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 19 = 3 ^ 3 + (- 2) ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 20 = 3 ^ 3 + (- 2) ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 21 = 16 ^ 3 + (- 14) ^ 3 + (- 11) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 22 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 23 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 24 = 2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 25 = 3 ^ 3 + (- 1) ^ 3 + (- 1) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 26 = 3 ^ 3 + (- 1) ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 27 = 3 ^ 3 + 0 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 28 = 3 ^ 3 + 1 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 29 = 3 ^ 3 + 1 ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 30 = (- 283059965) ^ 3 + (- 2218888517) ^ 3 + 2220422932 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 31 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 32 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 33 [/ matemáticas] = ??? Nadie lo sabe .
• [matemáticas] 34 = 3 ^ 3 + 2 ^ 3 + (- 1) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 35 = 3 ^ 3 + 2 ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 36 = 3 ^ 3 + 2 ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 37 = 4 ^ 3 + (- 3) ^ 3 + 0 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 38 = 4 ^ 3 + (- 3) ^ 3 + 1 ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 39 = 134476 ^ 3 + 117367 ^ 3 + (- 159380) ^ 3 [/ matemáticas]
• [matemáticas] 40 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 41 [/ matemáticas] se descarta
• [matemáticas] 42 = [/ matemáticas] ??? Nadie lo sabe .

Las soluciones dadas aquí son las más pequeñas posibles. La representación de [math] 39 [/ math] fue encontrada en 1992 por Heath-Brown, Lioen y te Riele. La representación de [math] 30 [/ math] fue encontrada en 1999 por Beck, Pine, Tarrant y Yarbrough Jensen [1].

Es posible que [math] 33 [/ math] no tenga tal representación, aunque creo que es poco probable. También es posible que los números involucrados estén fuera del alcance de las tecnologías actuales o futuras. Así son las matemáticas: no hay garantías.

Notas al pie

[1] Matemáticas de la computación

Answer 2

¿Está esto lo suficientemente cerca?

#include
#define MAX 100

int main () {
doble x, y, z, s;
para (x = -MAX; x para (y = x; y para (z = y; z s = x * x * x + y * y * y + z * z * z;
si (s> 32.9998 && s <33.0006)
printf (“%. 2f,% .2f,% .2f (% f) \ n”, x, y, z, s);
}

}
/ * resultado:
-87.75, 44.35, 83.80 (33.000500)
-82.10, -37.85, 84.70 (33.000375)
-53.75, -26.85, 55.90 (33.000500)
-32,95, 24,35, 27,75 (32,999875)
-30,85, 19,10, 28,20 (32,999875)
-22,45, 17,00, 18,60 (32.999875)
-16,60, -16,05, 20,60 (32.999875)
-5,50, -4,45, 6,60 (32.999875)
-5.05, -0.45, 5.45 (32.999875)
-4,45, -0,55, 4,95 (32,999875)
-4,45, 3,30, 4,40 (32.999875)
-3,00, 2,95, 3,25 (33.000500)
-2,10, -0,85, 3,50 (32,999875)
-1,10, 0,15, 3,25 (33.000500)
-1.00, 1.40, 3.15 (32.999875)
* /

Answer 3

Bueno, sin más información, puede elegir cualquier valor que desee para x e y, y luego obtener un valor de z restando sus cubos de 33 y luego enraizamiento de cubos (ya que puede tomar raíces cúbicas de números negativos así como positivo).

Si está buscando enteros positivos, entonces no hay una solución: desearía una combinación de 1, 8 y 27 y usar un 8 o un 27 deja un resto que no se puede hacer como la suma de otros dos .

Answer 4

Gracias por el A2A!

En realidad, hay un número infinito de soluciones en los reales y los racionales. Si desea que [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas] sean enteros, entonces es un problema abierto en matemáticas.