Creo que podemos llevar esto un paso más allá y aplicar un enfoque relacionado a los “ciclos complejos” que ocurren cuando [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x n [/ matemáticas].
Por ejemplo, si [matemática] n = 27 [/ matemática] y [matemática] x = 11 [/ matemática], obtenemos el ciclo:
79, 248, 124, 62, 31, 104, 52, 26, 13, 50, 25, 86, 43, 140, 70, 35, 116, 58, 29, 98, 49, 158, 79
¿Podemos mostrar que cada [matemática] 3n + x [/ matemática] (donde [matemática] x> 1 [/ matemática]) la secuencia de tipo Collatz se cicla si hay una iteración tal que [matemática] 4n-x \ equiv 0 [ / math] (mod [math] n [/ math])?
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- Cómo encontrar el MCD
- X e y son dos números naturales, si x ^ 2 + y ^ 2 es divisible por 21, ¿cuáles son los restos cuando x e y se dividen por 21 respectivamente?
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Por ejemplo, si [matemática] n = 27 [/ matemática] y [matemática] x = 11 [/ matemática] entonces [matemática] 79 [/ matemática] [matemática] -11 \ equiv 0 [/ matemática] (mod [matemática] ] 17 [/ matemáticas])
Ahora aquí está lo interesante. Si restar [matemática] x [/ matemática] de [matemática] n [/ matemática] es congruente con [matemática] 0 [/ matemática] módulo [matemática] y [/ matemática] eso también significa: [matemática] 11 \ equiv 79 [/ math] (mod [math] 17 [/ math]).
Desde allí, salte a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], que solo puede ser congruente si el módulo divide ambos números con un resto de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Tal número podría ser cualquier número entero donde el otro número y el módulo no sean iguales. Es decir, [matemática] 1 \ equiv x> 1 [/ matemática] (mod [matemática] y> 1 [/ matemática]) si [matemática] x \ neq y [/ matemática].
Por ejemplo: [matemáticas] 1 \ equiv 69 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 17 [/ matemáticas])
Todas las secuencias requieren espacios entre números impares para seguir intervalos fijos (determinados por clases de congruencia):
Si [matemática] n + x [/ matemática] es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], multiplique por [matemática] 1.5 [/ matemática], reste [matemática] x [/ matemática]
si [math] nx [/ math] es divisible por [math] 8 [/ math], multiplique por [math] 0.75 [/ math], agregue [math] x [/ math]
Si no, multiplica [matemáticas] nx [/ matemáticas] por [matemáticas] 0.25 [/ matemáticas]
Voy a sugerir que quizás la forma más simple de refutar la ciclicidad para [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] es demostrar que donde la congruencia es [matemáticas] 1 [/ matemáticas], mod [matemáticas] y [/ matemáticas ] y [math] x [/ math] tienen algún tipo de restricción en sus clases de congruencia.
Contraste con [matemáticas] n = 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 11 [/ matemáticas]:
[matemáticas] 11 \ equiv 79 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 17 [/ matemáticas])
[matemáticas] 11 \ equiv 31 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 5 [/ matemáticas])
Para lo cual la secuencia generada de solo impar es:
31 → 5 , 5 → 13, 13 → 25, 25 → 43, 43 → 35, 35 → 29, 29 → 49, 49 → 79, 79 → 17 , 17 → 31
[Lectura opcional] En el curso de pensar en esta respuesta, encontré algo interesante pero no significativo:
Mire y encontrará un “tricongruent” impar [math] n [/ math] como punto de inicio y finalización de cada ciclo.
Llame a este número [math] m [/ math]:
- [matemáticas] nx = \ frac {m} {4} [/ matemáticas]
- Con la [matemática] n [/ matemática] anterior: [matemática] m = \ frac {n} {2} [/ matemática]
- Con la siguiente [matemática] n [/ matemática]: [matemática] m = \ frac {n + x} {3} [/ matemática]
Por ejemplo, si [matemáticas] n = 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 23 [/ matemáticas]:
926
463 110
1412
926, 463 , 1412, 706, 353, 1082, 541, 1646, 823, 2492, 1246, 623, 1892, 946, 473, 1442, 721, 2186, 1093, 3302, 1651, 4976, 2488, 1244, 622, 311, 956, 478, 239, 740, 370, 185, 578, 289, 890, 445, 1358, 679, 2060, 1030, 515, 1568, 784, 392, 196, 98, 49, 170, 85, 278, 139, 440, 220, 110, 55, 188, 94, 47, 164, 82, 41, 146, 73, 242, 121, 386, 193, 602, 301, 926, 463 , 1412
Entonces, ¿qué pasa con [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]? Exactamente, lo mismo, por supuesto! Pero sin el bucle. Las funciones de multiplicación y división de Collatz son las mismas con cualquier [matemática] x [/ matemática], incluyendo [matemática] 1 [/ matemática]. Pero con [math] 1 [/ math] el intervalo es irregular: no está relacionado con un ciclo ya que no existe ninguno.
Por ejemplo, si [matemáticas] n = 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]:
754
377 94
1132
754, 377 , 1132, 566, 283, 850, 425 , 1276
Tenga en cuenta que [math] x [/ math] es el desplazamiento que genera un ciclo complejo si [math] x \ geq 3 [/ math]. Un desplazamiento de [math] 1 [/ math] no crea un ciclo que no sea trivial.