Si un factorial 20 se divide por 343, ¿cuál será el resto?

Veamos cómo se desarrolla el problema.

[matemáticas] R [\ dfrac {20!} {343}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ dfrac {(1 \ veces 2 \ veces … 19 \ veces 20)} {343}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {(1 \ veces 2 \ veces… .7) \ veces (8 \ veces 9 \ veces… 14) \ veces (15 \ veces 16 \ veces… 20)} {343}] [ /matemáticas]

[matemáticas] = R [\ frac {(7) ^ 2 \ times (1 \ times 2 \ times… 6) \ times (8 \ times 9 \ times… 13 \ times 2) \ times (15 \ times 16 \ times … 19 \ veces 20)} {(7) ^ 3}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = (7) ^ 2 \ veces R [\ frac {(1 \ veces 2 \ veces… 6)} {7}] \ veces R [\ frac {(8 \ veces 9 \ veces… 13 \ veces 2 )} {7}] \ veces R [\ frac {(15 \ veces 16 \ veces… 19 \ veces 20)} {7}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = 49 \ veces R [\ frac {(6!)} {7}] \ veces R [\ frac {2 \ veces (6!)} {7}] \ veces R [\ frac {(6! )} {7}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ dfrac {(49 \ veces 6 \ veces 12 \ veces 6)} {343}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = R [\ dfrac {(98 \ veces 216)} {343}] [/ matemáticas]

= 245 ( respuesta )

Primera nota que [matemáticas] 343 = 7 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 20! [/ matemáticas] puede escribirse como [matemáticas] (6!) \ veces (7) \ veces (\ frac {13!} {7!}) \ veces (14) \ veces (\ frac { 20!} {14!}) [/ Matemáticas]

Tenga en cuenta que cada paréntesis se evalúa como un entero ya que es un producto de números consecutivos

Según el teorema de Wilson

[matemáticas] 6! \ equiv \ frac {13!} {7!} \ equiv \ frac {20!} {14!} \ equiv (-1) (mod7) [/ math]

Entonces, [matemáticas] (6!) \ Veces (\ frac {13!} {7!}) \ Veces (\ frac {20!} {14!}) \ Equiv (-1) (- 1) (- 1 ) \ equiv (-1) (mod 7) [/ math]

y [matemáticas] 20! \ equiv (7) (14) (7k − 1) \ equiv −98 \ equiv 245 (mod343) [/ matemática]

20! / 243 = 20 × 19 × 18 × 17 …… × 14 …… × 7 × 6! / 7 × 7 × 7

= (20 × 19 × 18 × 17 × 16)… × (15) (13) × 12 × 11 × 10 × 9… × 8 × 6! / 7

= 2 (-1) (- 2) (- 3) × (-4) (- 5) (1) (- 1) (- 2) (- 3) (- 4) (- 5)… (1) × 6 × 5! / 7

≡2 × 6 × 5! 5! 5! / 7

Mod12mod7

Mod5mod7

≡5 × 7 × 7 mod343

≡245 mod343

¡Podemos escribir 20! en términos de sus factores.
¡Por ejemplo potencia de 2 en 20! → (20/2) + (20/4) + (20/8) + (20/16) = 10 + 5 + 2 + 1 = 18

Entonces 20! = 2 ^ 18 * 3 ^ 8 * 5 ^ 4 * 7 ^ 2 * 11 * 13 * 17 * 19
Entre 20! y 343 el término común es 49
Después de sacar el término común, tenemos que averiguar
(2 ^ 18 * 3 ^ 8 * 5 ^ 4 * 11 * 13 * 17 * 19) mod 7 = 1 * 2 * 2 * 4 * 6 * 3 * 5 mod 7 = 96 * 15 mod 7 = 5

El resto será un término común, que aquí es 49 multiplicado por 5 -> 49 * 5 = 245