En aras de la claridad, permítanme reformular la pregunta como “¿Cuál es el mayor poder de [math] 10 [/ math] que divide [math] 101 ^ {100} -1 [/ math]?”.
Hay muchas formas de resolver esto: presentaré rápidamente dos de ellas.
- Teorema binomial
Reescribe [matemáticas] 101 = 100 + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 101 ^ {100} -1 [/ matemáticas] como [matemáticas] (100 + 1) ^ {100} -1 [/ matemáticas]. Emplear el teorema binomial para expandir el poder.
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle (100 + 1) ^ {100} -1 = -1+ \ sum_ {k = 0} ^ {100} {100 \ choose {k}} 100 ^ k = \ sum_ {k = 1} ^ {100} {100 \ elegir {k}} 100 ^ k \ end {align} \ tag * {} [/ math]
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Una primera observación: todos los términos de la suma son divisibles por [matemáticas] 10 ^ 4 [/ matemáticas]. Esto es obvio para cualquier término [matemática] \ displaystyle {100 \ elegir {k}} 100 ^ k [/ matemática] donde [matemática] k> 1 [/ matemática], pero incluso cuando [matemática] k = 1 [/ matemática ]
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle {100 \ choose {1}} \ cdot {100} = 10000 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces, seguro, [matemática] 10 ^ 4 [/ matemática] divide [matemática] 101 ^ {100} -1 [/ matemática]. Pero, ¿cómo podemos descartar poderes superiores? Para eso, se necesita una segunda observación.
Todos los términos [matemática] \ displaystyle {100 \ elegir {k}} 100 ^ k [/ matemática] donde [matemática] k> 2 [/ matemática] son divisibles por [matemática] 10 ^ 5 [/ matemática], es decir, podemos ignorarlos si consideramos el módulo de suma [matemática] 10 ^ 5 [/ matemática]. En otras palabras, el problema se reduciría a verificar si los dos primeros términos de la suma son, por accidente, también divisibles por [matemáticas] 10 ^ 5 [/ matemáticas]. sin embargo
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {100} {100 \ choose {k}} 100 ^ k \ equiv {10000+ {100 \ choose {2}} {10000}} \ equiv {49510000} \ not \ equiv {0} \ mod {10 ^ 5} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces [matemáticas] 10 ^ 4 [/ matemáticas] divide [matemáticas] 101 ^ {100} -1 [/ matemáticas] pero no [matemáticas] 10 ^ 5 [/ matemáticas], dando [matemáticas] 10000 [/ matemáticas] como nuestro respuesta final.
2. LTE
Este teorema (Lifting The Exponent) nos permite determinar la mayor potencia en la que un primo divide un número arbitrario. No hace falta decir que es un atajo real en problemas como el suyo, porque permite omitir mucho álgebra y reduce la probabilidad de errores tontos.
Sin embargo, la captura son las condiciones bajo las cuales es aplicable este teorema. A menos que el ejercicio esté hecho a medida para que lo use, recordarlo puede ser difícil. Por lo tanto, recomiendo aprender la prueba de antemano, y solo luego intentar problemas reales.
Ahora, sin estirar demasiado las cosas, aquí está la parte del teorema que nos interesa:
Deje que [math] p [/ math] sea un número primo. Denotemos con [math] v_p (n) [/ math] la mayor potencia en la que [math] p [/ math] divide el entero positivo [math] n [/ math]. Entonces se cumple lo siguiente:
- Si [math] p \ neq {2} [/ math] y [math] p | xy [/ math] entonces
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_p (x ^ ny ^ n) = v_p (xy) + v_ {p} (n) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
- Si [matemática] p = 2 [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] es par y [matemática] 2 | xy [/ matemática] entonces
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_2 (x ^ ny ^ n) = v_2 (xy) + v_2 (x + y) + v_ {2} (n) -1 \ end {align} \ tag * {} [/matemáticas]
Como nos importa la divisibilidad entre [matemática] 10 [/ matemática], debemos verificar [matemática] p = 2 [/ matemática] y [matemática] p = 5 [/ matemática]
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_5 (101 ^ {100} -1) = v_5 (101-1) + v_ {5} (100) = 2 + 2 = 4 \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle v_2 (101 ^ {100} -1) = v_2 (101-1) + v_ {p} (101 + 1) + v_2 (100) -1 = 2 + 1 + 2 -1 = 4 \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces [matemática] 2 ^ 4 [/ matemática] y [matemática] 5 ^ 4 [/ matemática] son las mayores potencias de [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] que dividen [matemática] 101 ^ {100} -1 [/ matemáticas]. Entonces [math] 10 ^ 4 = 10000 [/ math] es la mayor potencia de [math] 10 [/ math] que lo divide.