Aquí hay otro problema que parece difícil si no conoce muchos resultados en aritmética modular, pero con algunas grandes ideas básicas, puede resolverlo a mano sin demasiado esfuerzo. Presentaré una solución de “fuerza bruta” que cualquiera que sepa cómo multiplicar números de dos dígitos puede hacerlo en unos minutos.
La gran idea principal es que si solo le importan los dos últimos dígitos del producto de dos números, entonces cualquier dígito además de los dos últimos no importa. Por ejemplo, [math] 12345 \ cdot 6798 [/ math] tendrá los mismos dos últimos dígitos que el producto [math] 45 \ cdot 98 [/ math]. No es difícil ver por qué esto es cierto. Si los dos últimos dígitos del primer número son el número de dos dígitos [matemática] m [/ matemática] y los dos últimos dígitos del segundo número son el número de dos dígitos [matemática] n [/ matemática], entonces para algún par de números [matemáticas] k_1, k_2 [/ matemáticas], podemos escribir el producto del par de números naturales como [matemáticas] (100 \ cdot k_1 + m) \ cdot (100 \ cdot k_2 + n) = 100 ^ 2k_1k_2 + 100 (mk_2 + nk_1) + mn [/ matemática].
Observe que cada término en la suma es un múltiplo de [matemática] 100 [/ matemática] que no sea [matemática] mn [/ matemática] por lo que el producto termina en los mismos dos dígitos que el producto [matemática] mn [/ matemática].
A partir de este resultado, podemos concluir de inmediato que [matemáticas] 2017 ^ {2017} [/ matemáticas] termina en los mismos dos dígitos que [matemáticas] 17 ^ {2017} [/ matemáticas] por lo que el problema se ha vuelto un poco más fácil.
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A continuación, observamos que [matemáticas] 17 ^ k [/ matemáticas] siempre es impar. Como solo hay [matemáticas] 50 [/ matemáticas] números impares entre [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 100 [/ matemáticas], vemos que para algunos pares de números naturales, [matemáticas] n <m \ le [/ math] [math] 51 [/ math], debe ser cierto que [math] 17 ^ m [/ math] y [math] 17 ^ n [/ math] terminan en el mismo par de dígitos. (Esta afirmación se debe a que todos los poderes de [math] 17 [/ math] deben terminar en un número impar de dos dígitos, y solo hay cincuenta de esos números. La conclusión se desprende del principio del casillero).
Luego, observe que una vez que encontramos ese par, sabemos que el patrón de los dos últimos dígitos de los poderes de [math] 17 [/ math] debe comenzar a repetirse con el punto [math] mn [/ math] que comienza con [math ] 17 ^ n [/ matemáticas]. (Esto se debe a que hemos demostrado que solo se necesitan los dos últimos dígitos de cada número en un producto para determinar los dos últimos dígitos del producto, por lo que una vez que un par de poderes de [math] 17 [/ math] coinciden en el último dos dígitos, cada multiplicación adicional por [matemáticas] 17 [/ matemáticas] debe seguir la misma secuencia de los últimos dos dígitos).
Aquí está la lista del poder de 17 seguido de sus dos últimos dígitos continuados hasta que vemos una repetición. No es demasiado difícil hacer esto con lápiz y papel, ya que solo necesita multiplicar números de dos dígitos por [matemáticas] 17 [/ matemáticas] para generar el siguiente número en el patrón. Aún así, ¡una computadora lo hace más rápido!
1 17
2 89
3 13
4 21
5 57
6 69
7 73
8 41
9 97
10 49
11 33
12 61
13 37
14 29
15 93
16 81
17 77
18 09
19 53
20 01
21 17
Independientemente de cómo obtenga la lista, pronto descubrirá que [matemática] 17 ^ {21} [/ matemática] termina en [matemática] 17 [/ matemática] por lo que en realidad solo hay [matemática] 20 [/ matemática] diferentes terminaciones de dos dígitos de poderes de [matemáticas] 17 [/ matemáticas] en lugar del máximo posible de [matemáticas] 50 [/ matemáticas]. Concluimos que cada potencia de [math] 17 [/ math] debe terminar en uno de estos números de dos dígitos. Además, [math] 17 ^ k [/ math] debe terminar en el mismo número de dos dígitos que [math] 17 ^ {20n + k} [/ math] para cualquier número natural [math] n, k [/ math].
Finalmente concluimos que [matemáticas] 17 ^ {2017} [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 ^ {17} [/ matemáticas] deben terminar en el mismo par de dígitos desde [matemáticas] 2017 = 20 \ cdot 100 + 17 [ /matemáticas]. Como acabamos de hacer una lista de los dos últimos dígitos de los primeros poderes [matemática] 21 [/ matemática] de [matemática] 17 [/ matemática], ahora tenemos nuestra respuesta. Resulta que [matemáticas] 17 ^ {17} [/ matemáticas] termina en [matemáticas] 77 [/ matemáticas]. Entonces, de nuestros pasos anteriores, sabemos que [matemáticas] 17 ^ {2017} [/ matemáticas] también termina en [matemáticas] 77 [/ matemáticas] al igual que [matemáticas] 2017 ^ {2017} [/ matemáticas]. Entonces, el resto que busca es [matemáticas] 77 [/ matemáticas].