¿Cómo es la Conjetura de Beal una generalización de FLT?

Answer 1

La conjetura de Beal establece que si tienes números enteros positivos [matemática] A, B, C, l, m, n [/ matemática] tal que [matemática] l, m, n> 2 [/ matemática] y

[matemática] \ displaystyle A ^ l + B ^ m = C ^ n \ tag * {}, [/ math]

entonces [matemáticas] A, B, C [/ matemáticas] tienen un factor primo común. Ahora, suponga que [matemáticas] l = m = n [/ matemáticas] y [matemáticas] A, B, C \ neq 0 [/ matemáticas] como en el último teorema de Fermat. Según la conjetura de Beal, obtendríamos que hay algunos primos [matemática] p [/ matemática] dividiendo [matemática] A, B, C [/ matemática]. Pero esto no tiene sentido, ya que siempre podemos dividir entre [matemáticas] p ^ n [/ matemáticas], produciendo

[matemáticas] \ begin {align *} A_2 ^ n + B_2 ^ n & = \ left (A / p \ right) ^ n + \ left (B / p \ right) ^ n \\ & = \ left (C / p \ right) ^ n = C_2 ^ n \ end {align *} \ tag * {}, [/ math]

y la conjetura de Beal nos diría que [matemáticas] A_2, B_2, C_2 [/ matemáticas] también tienen un factor primo común. Ahora solo iteramos este proceso, dándonos una secuencia infinita de triples enteros positivos [matemática] A_k, B_k, C_k [/ matemática] de modo que cada triple sea estrictamente más pequeño que el anterior.

Eso no es posible para secuencias enteras, por lo que concluimos que no hay soluciones enteras para

[matemática] \ displaystyle A ^ n + B ^ n = C ^ n \ tag * {}, [/ math]

para [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la conjetura de Beal, si es cierta, implica directamente el último teorema de Fermat.